Номер 223, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

223. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, $R > r$, а угол между образующей усечённого конуса и его высотой равен $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

223. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, $R > r$, а угол между образующей усечённого конуса и его высотой равен $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и описанного около него шара. Сечением является равнобокая трапеция, вписанная в большую окружность шара. Радиус этой окружности и есть искомый радиус шара $R_{ш}$.

Пусть основания трапеции равны $2R$ и $2r$, боковая сторона (образующая конуса) равна $l$, а высота (высота конуса) равна $h$. Угол между образующей и высотой по условию равен $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, образующей $l$ и разностью радиусов оснований $R-r$. В этом треугольнике:
Катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $R-r$.
Катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $h$.
Гипотенуза равна $l$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:
$R-r = l \sin(\alpha) \implies l = \frac{R-r}{\sin(\alpha)}$
$h = l \cos(\alpha) = \frac{R-r}{\sin(\alpha)}\cos(\alpha) = (R-r)\cot(\alpha)$

Радиус шара $R_{ш}$ является радиусом окружности, описанной около равнобокой трапеции. Этот радиус совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного боковой стороной, диагональю и большим основанием трапеции.

Обозначим диагональ трапеции как $d$. Найдем ее, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного высотой $h$, диагональю $d$ и отрезком, равным $R+r$:
$d^2 = h^2 + (R+r)^2$

Теперь воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности треугольника со сторонами $a, b, c$ и площадью $S$: $R_{окр} = \frac{abc}{4S}$.
В нашем случае, для треугольника, образованного большим основанием $2R$, боковой стороной $l$ и диагональю $d$, имеем:
Стороны: $a = 2R$, $b = l$, $c = d$.
Площадь этого треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot (\text{основание}) \cdot (\text{высота}) = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot h = Rh$.
Тогда радиус шара $R_{ш}$:
$R_{ш} = \frac{2R \cdot l \cdot d}{4 \cdot Rh} = \frac{ld}{2h}$

Из соотношения $h = l \cos(\alpha)$ следует, что $\frac{l}{h} = \frac{1}{\cos(\alpha)}$. Подставим это в формулу для $R_{ш}$:
$R_{ш} = \frac{l}{2h} \cdot d = \frac{1}{2\cos(\alpha)} \cdot d = \frac{1}{2\cos(\alpha)} \sqrt{h^2 + (R+r)^2}$

Теперь подставим выражение для $h$:
$R_{ш} = \frac{1}{2\cos(\alpha)} \sqrt{((R-r)\cot(\alpha))^2 + (R+r)^2}$
$R_{ш} = \frac{1}{2\cos(\alpha)} \sqrt{(R-r)^2 \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} + (R+r)^2}$
Вынесем $\sin(\alpha)$ из-под корня:
$R_{ш} = \frac{1}{2\cos(\alpha)\sin(\alpha)} \sqrt{(R-r)^2\cos^2(\alpha) + (R+r)^2\sin^2(\alpha)}$
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $, получаем:
$R_{ш} = \frac{1}{\sin(2\alpha)} \sqrt{(R^2 - 2Rr + r^2)\cos^2(\alpha) + (R^2 + 2Rr + r^2)\sin^2(\alpha)}$
Раскроем скобки под корнем и сгруппируем слагаемые:
$R_{ш} = \frac{1}{\sin(2\alpha)} \sqrt{R^2(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) + r^2(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) - 2Rr(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha))}$
Применим тригонометрические тождества $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$ и $\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = \cos(2\alpha)$:
$R_{ш} = \frac{1}{\sin(2\alpha)} \sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos(2\alpha)}$

Ответ: $ \frac{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos(2\alpha)}}{\sin(2\alpha)} $