Номер 225, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

225. Радиус основания конуса равен 8 см, а его образующая — 17 см. Найдите радиус шара, вписанного в конус.

225. Радиус основания конуса равен 8 см, а его образующая — 17 см. Найдите радиус шара, вписанного в конус.

Для нахождения радиуса шара, вписанного в конус, рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, а осевым сечением вписанного шара — окружность, вписанная в этот треугольник. Радиус этой окружности и есть искомый радиус шара.

Обозначим:

• $R$ — радиус основания конуса, $R = 8$ см.
• $l$ — образующая конуса, $l = 17$ см.
• $H$ — высота конуса.
• $r$ — радиус вписанного шара.

Высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза. По теореме Пифагора найдем высоту конуса:

$H^2 + R^2 = l^2$

$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Рассмотрим осевое сечение — равнобедренный треугольник $ABC$ с высотой $AD = H = 15$ см, основанием $BC = 2R = 16$ см и боковыми сторонами $AB = AC = l = 17$ см. Центр вписанной окружности $O$ лежит на высоте $AD$.

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти, используя метод подобных треугольников. Проведем из центра $O$ радиус $OE$ к боковой стороне $AC$. Так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания, то $OE \perp AC$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ (образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей) и $\triangle AEO$ (образованный отрезком $AO$, радиусом вписанной окружности $OE$ и отрезком образующей $AE$).

Эти треугольники подобны по острому углу ($\angle CAD$ — общий).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{OE}{DC} = \frac{AO}{AC}$

Где:

• $OE = r$ (радиус вписанного шара)
• $DC = R = 8$ см
• $AC = l = 17$ см
• $AO = AD - OD = H - r = 15 - r$

Подставим эти значения в пропорцию:

$\frac{r}{8} = \frac{15 - r}{17}$

Решим это уравнение относительно $r$:

$17r = 8(15 - r)$

$17r = 120 - 8r$

$17r + 8r = 120$

$25r = 120$

$r = \frac{120}{25} = \frac{24}{5} = 4.8$ см.

Ответ: 4,8 см.