Номер 219, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

219. Радиус основания конуса равен $R$, а угол при вершине осевого сечения конуса равен $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, описанного около конуса.

219. Радиус основания конуса равен $R$, а угол при вершине осевого сечения конуса равен $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, описанного около конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанного около него шара. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение шара — большой круг, который является окружностью, описанной около этого треугольника.

Пусть осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной $C$ в вершине конуса и основанием $AB$, которое является диаметром основания конуса.

По условию задачи:

• Радиус основания конуса равен $R$, следовательно, длина основания $AB$ треугольника $ABC$ равна $2R$.
• Угол при вершине осевого сечения равен $\alpha$, то есть $\angle ACB = \alpha$.

Радиус $R_{сф}$ описанного шара равен радиусу окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов, которое гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = 2R_{сф}$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{2R}{\sin(\alpha)} = 2R_{сф}$

Выразим из этого уравнения радиус шара $R_{сф}$:

$R_{сф} = \frac{R}{\sin(\alpha)}$

Площадь большого круга шара ($S$) вычисляется по формуле $S = \pi R_{сф}^2$. Подставим найденное выражение для $R_{сф}$:

$S = \pi \left(\frac{R}{\sin(\alpha)}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{\sin^2(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi R^2}{\sin^2(\alpha)}$