Страница 63 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

215. Радиус основания цилиндра равен $R$. Диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около цилиндра.

215. Радиус основания цилиндра равен $R$. Диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около цилиндра.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота — $H$. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания $2R$ и высоте $H$.

Диагональ этого прямоугольника (осевого сечения), обозначим ее $d$, образует с плоскостью основания угол $\alpha$. В прямоугольнике осевого сечения эта диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат диаметр основания $2R$ и высота цилиндра $H$. Угол между диагональю $d$ и диаметром $2R$ как раз и равен $\alpha$.

Из определения косинуса в этом прямоугольном треугольнике имеем: $\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{2R}{d}$

Отсюда можно выразить длину диагонали осевого сечения: $d = \frac{2R}{\cos(\alpha)}$

Если шар описан около цилиндра, то окружности оснований цилиндра лежат на поверхности шара. Центр шара совпадает с центром цилиндра (серединой его оси). Диагональ осевого сечения цилиндра проходит через центр шара и соединяет две диаметрально противоположные точки на окружностях оснований. Таким образом, диагональ осевого сечения цилиндра является диаметром описанного шара.

Пусть искомый радиус шара равен $R_{ш}$. Тогда его диаметр равен $2R_{ш}$. Следовательно, $2R_{ш} = d$.

Подставим в это равенство найденное выражение для $d$: $2R_{ш} = \frac{2R}{\cos(\alpha)}$

Разделив обе части на 2, получим искомый радиус шара: $R_{ш} = \frac{R}{\cos(\alpha)}$

Ответ: $\frac{R}{\cos(\alpha)}$

216. В шар, радиус которого равен 6,5 см, вписан цилиндр, радиус основания которого равен 6 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

216. В шар, радиус которого равен 6,5 см, вписан цилиндр, радиус основания которого равен 6 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Обозначим радиус шара как $R$, а радиус основания и высоту вписанного цилиндра как $r$ и $h$ соответственно.

Из условия задачи нам известно:
Радиус шара $R = 6,5$ см.
Радиус основания цилиндра $r = 6$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2 \pi r h$
Для вычисления площади нам необходимо найти высоту цилиндра $h$.

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через ось цилиндра. В сечении мы получим прямоугольник (осевое сечение цилиндра), вписанный в большой круг (сечение шара).
Радиус этого круга равен радиусу шара $R$. Стороны прямоугольника равны диаметру основания цилиндра $2r$ и его высоте $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус шара $R$, а катетами — радиус основания цилиндра $r$ и половина высоты цилиндра $\frac{h}{2}$. По теореме Пифагора:
$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

Подставим известные значения в это уравнение, чтобы найти $h$:
$(6,5)^2 = 6^2 + (\frac{h}{2})^2$
$42,25 = 36 + (\frac{h}{2})^2$

Теперь найдем значение $(\frac{h}{2})^2$:
$(\frac{h}{2})^2 = 42,25 - 36$
$(\frac{h}{2})^2 = 6,25$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти половину высоты:
$\frac{h}{2} = \sqrt{6,25}$
$\frac{h}{2} = 2,5$ см

Следовательно, полная высота цилиндра равна:
$h = 2 \times 2,5 = 5$ см

Теперь, зная высоту цилиндра, мы можем вычислить площадь его боковой поверхности:
$S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi \times 6 \times 5 = 60\pi$ см$^2$

Ответ: $60\pi$ см$^2$.

217. Радиус основания конуса равен 8 см, а его осевое сечение — прямоугольный треугольник. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

217. Радиус основания конуса равен 8 см, а его осевое сечение — прямоугольный треугольник. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

Пусть $r$ — радиус основания конуса, $h$ — его высота, $l$ — его образующая, а $R$ — радиус описанного около конуса шара.

Из условия задачи известно, что радиус основания конуса $r = 8$ см.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса $d=2r$, а боковыми сторонами — образующие конуса $l$.

По условию, это осевое сечение является прямоугольным треугольником. В равнобедренном треугольнике прямым может быть только угол при вершине, противолежащий основанию. Следовательно, образующие конуса перпендикулярны друг другу, а диаметр основания конуса является гипотенузой этого прямоугольного треугольника.

Длина гипотенузы (диаметра основания конуса) равна $d = 2r = 2 \times 8 = 16$ см.

Шар называется описанным около конуса, если вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности шара. Это означает, что осевое сечение конуса вписано в большую окружность шара (окружность, получаемую при сечении шара плоскостью, проходящей через его центр). Таким образом, радиус описанного шара $R$ равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Следовательно, радиус этой окружности равен половине длины гипотенузы.

Так как гипотенузой осевого сечения является диаметр основания конуса $d$, то радиус описанного шара $R$ вычисляется как:

$R = \frac{1}{2} d = \frac{1}{2} (2r) = r$

Подставляя значение радиуса основания конуса, находим радиус описанного шара:

$R = 8$ см.

Ответ: 8 см.

218. Образующая конуса равна 15 см, а его высота — 12 см.

Найдите радиус шара, описанного около конуса.

218. Образующая конуса равна 15 см, а его высота — 12 см.

Найдите радиус шара, описанного около конуса.

Обозначим образующую конуса как $l$, его высоту как $h$, радиус основания как $r$, и радиус описанного шара как $R$. По условию задачи дано: $l = 15$ см $h = 12$ см

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанного около него шара. Сечением является равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса), вписанный в большую окружность шара. Стороны этого треугольника равны двум образующим $l$ и диаметру основания конуса $2r$. Высота этого треугольника равна высоте конуса $h$. Радиус окружности, описанной около этого треугольника, и будет радиусом описанного шара $R$.

1. Найдем радиус основания конуса $r$. Высота $h$, радиус основания $r$ и образующая $l$ конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$ Отсюда выразим $r^2$: $r^2 = l^2 - h^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$ $r = \sqrt{81} = 9$ см.

2. Найдем радиус описанного шара $R$. Существует несколько способов. Воспользуемся формулой, связывающей радиус описанной окружности $R$ со сторонами треугольника ($a, b, c$) и его площадью $S$: $R = \frac{abc}{4S}$ Стороны нашего равнобедренного треугольника равны $a = l = 15$ см, $b = l = 15$ см, $c = 2r = 2 \cdot 9 = 18$ см. Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = r \cdot h$ $S = 9 \cdot 12 = 108$ см$^2$. Теперь подставим все значения в формулу для радиуса: $R = \frac{15 \cdot 15 \cdot 18}{4 \cdot 108} = \frac{225 \cdot 18}{432} = \frac{4050}{432}$ Сократим дробь. Разделим числитель и знаменатель на 54: $4050 \div 54 = 75$ $432 \div 54 = 8$ $R = \frac{75}{8} = 9,375$ см.

Альтернативный способ: Можно использовать формулу, которая напрямую связывает радиус описанного шара с высотой и образующей конуса: $R = \frac{l^2}{2h}$. Подставим наши значения: $R = \frac{15^2}{2 \cdot 12} = \frac{225}{24}$ Сократим дробь на 3: $R = \frac{75}{8} = 9,375$ см.

Ответ: 9,375 см.

219. Радиус основания конуса равен $R$, а угол при вершине осевого сечения конуса равен $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, описанного около конуса.

219. Радиус основания конуса равен $R$, а угол при вершине осевого сечения конуса равен $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, описанного около конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанного около него шара. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение шара — большой круг, который является окружностью, описанной около этого треугольника.

Пусть осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной $C$ в вершине конуса и основанием $AB$, которое является диаметром основания конуса.

По условию задачи:

• Радиус основания конуса равен $R$, следовательно, длина основания $AB$ треугольника $ABC$ равна $2R$.
• Угол при вершине осевого сечения равен $\alpha$, то есть $\angle ACB = \alpha$.

Радиус $R_{сф}$ описанного шара равен радиусу окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов, которое гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = 2R_{сф}$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{2R}{\sin(\alpha)} = 2R_{сф}$

Выразим из этого уравнения радиус шара $R_{сф}$:

$R_{сф} = \frac{R}{\sin(\alpha)}$

Площадь большого круга шара ($S$) вычисляется по формуле $S = \pi R_{сф}^2$. Подставим найденное выражение для $R_{сф}$:

$S = \pi \left(\frac{R}{\sin(\alpha)}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{\sin^2(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi R^2}{\sin^2(\alpha)}$

220. Около конуса, осевым сечением которого является остроугольный треугольник, описан шар. Расстояние от центра шара до центра основания конуса равно $a$. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

220. Около конуса, осевым сечением которого является остроугольный треугольник, описан шар. Расстояние от центра шара до центра основания конуса равно $a$. Угол между образующей конуса и его высотой равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Обозначим радиус основания конуса как $r$, его образующую как $l$, а высоту как $H$. Площадь боковой поверхности конуса, которую необходимо найти, вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник. Пусть вершина конуса — точка $A$, а диаметр основания — отрезок $BC$. Тогда осевое сечение — это треугольник $ABC$. Высота конуса $H$ является высотой $AD$ этого треугольника, опущенной на основание $BC$. Центр основания конуса — точка $D$.

В прямоугольном треугольнике $ADB$, где $AD=H$, $BD=r$ и $AB=l$, угол между образующей и высотой по условию равен $\alpha$, то есть $\angle DAB = \alpha$. Из этого треугольника можно выразить $r$ и $H$ через $l$ и $\alpha$:
$r = l \sin(\alpha)$
$H = l \cos(\alpha)$

Описанная около конуса сфера также является описанной и для его осевого сечения. Центр сферы $O$ — это центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, его центр описанной окружности лежит на высоте (и оси симметрии) $AD$.

По условию, осевое сечение — остроугольный треугольник. Это означает, что центр описанной окружности $O$ находится внутри треугольника, то есть на отрезке $AD$.

Расстояние от центра сферы $O$ до центра основания конуса $D$ дано и равно $a$, то есть $OD=a$.

Пусть $R$ — радиус описанной сферы. Так как точки $A$ и $B$ лежат на сфере, их расстояние до центра сферы $O$ равно $R$. Таким образом, $OA = R$ и $OB = R$.

Поскольку точка $O$ лежит на отрезке $AD$, мы можем записать высоту конуса как сумму отрезков: $H = AD = AO + OD$. Подставляя известные значения, получаем: $H = R + a$.

Приравняв два выражения для $H$, имеем: $l \cos(\alpha) = R + a$ (1)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ODB$. Его катеты — это $OD = a$ и $DB = r$, а гипотенуза — $OB = R$. По теореме Пифагора: $R^2 = OD^2 + DB^2 \Rightarrow R^2 = a^2 + r^2$ (2)

Мы получили систему уравнений для нахождения $l$ и $r$. Из уравнения (1) выразим $R$: $R = l \cos(\alpha) - a$. Подставим это выражение, а также выражение $r = l \sin(\alpha)$, в уравнение (2):
$(l \cos(\alpha) - a)^2 = a^2 + (l \sin(\alpha))^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $l$:
$l^2 \cos^2(\alpha) - 2al \cos(\alpha) + a^2 = a^2 + l^2 \sin^2(\alpha)$
$l^2 \cos^2(\alpha) - l^2 \sin^2(\alpha) - 2al \cos(\alpha) = 0$
$l^2 (\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)) = 2al \cos(\alpha)$

Поскольку $l \neq 0$, разделим обе части на $l$. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$:
$l \cos(2\alpha) = 2a \cos(\alpha)$
Отсюда находим образующую $l$:
$l = \frac{2a \cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)}$

Теперь найдем радиус основания $r$, используя $r = l \sin(\alpha)$:
$r = \left(\frac{2a \cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)}\right) \sin(\alpha) = \frac{2a \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)}$
Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$:
$r = \frac{a \sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = a \tan(2\alpha)$

Наконец, подставляем найденные выражения для $r$ и $l$ в формулу площади боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot (a \tan(2\alpha)) \cdot \left(\frac{2a \cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)}\right)$
$S_{бок} = \pi \cdot \frac{a \sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \cdot \frac{2a \cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{2\pi a^2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha)}{\cos^2(2\alpha)}$

Ответ: $\frac{2\pi a^2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha)}{\cos^2(2\alpha)}$

221. Радиус большего основания усечённого конуса равен 25 см, образующая — 30 см, а высота — 24 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса.

221. Радиус большего основания усечённого конуса равен 25 см, образующая — 30 см, а высота — 24 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса.

Обозначим радиус большего основания усечённого конуса как $R_1 = 25$ см, радиус меньшего основания как $R_2$, образующую — $l = 30$ см, а высоту — $h = 24$ см. Искомый радиус описанной сферы обозначим как $R_{сф}$.

Сфера называется описанной около усечённого конуса, если окружности обоих оснований конуса лежат на поверхности сферы. Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию, которая вписана в большой круг описанной сферы. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, описанной около этой трапеции.

1. Найдём радиус меньшего основания $R_2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, его образующей $l$ (в качестве гипотенузы) и разностью радиусов оснований $(R_1 - R_2)$ (в качестве катета). Согласно теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2$

Подставим известные значения:

$30^2 = 24^2 + (25 - R_2)^2$

$900 = 576 + (25 - R_2)^2$

$(25 - R_2)^2 = 900 - 576$

$(25 - R_2)^2 = 324$

$25 - R_2 = \sqrt{324}$

$25 - R_2 = 18$

$R_2 = 25 - 18 = 7$ см.

2. Найдём радиус описанной сферы $R_{сф}$.

Радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, равен радиусу окружности, описанной около треугольника, образованного тремя вершинами этой трапеции. Рассмотрим треугольник, образованный большим основанием трапеции и одной из её диагоналей.

Пусть осевое сечение — трапеция $ABCD$, где $AD$ — большее основание. Длина $AD$ равна диаметру большего основания конуса:

$AD = 2R_1 = 2 \cdot 25 = 50$ см.

Боковая сторона трапеции равна образующей: $AB = l = 30$ см.

Найдём длину диагонали трапеции, например, $BD$. Для этого проведём высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. Длина отрезка $AH$ равна полуразности оснований:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2R_1 - 2R_2}{2} = R_1 - R_2 = 25 - 7 = 18$ см.

Тогда длина отрезка $HD$ будет:

$HD = AD - AH = 50 - 18 = 32$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $BD$ (диагональ трапеции):

$BD^2 = BH^2 + HD^2$

Поскольку $BH$ — это высота трапеции ($BH = h = 24$ см), получаем:

$BD^2 = 24^2 + 32^2 = 576 + 1024 = 1600$

$BD = \sqrt{1600} = 40$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$, вписанный в ту же окружность. Его стороны равны $AB = 30$ см, $BD = 40$ см, $AD = 50$ см. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, с помощью обратной теоремы Пифагора:

$AB^2 + BD^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$

$AD^2 = 50^2 = 2500$

Так как $AB^2 + BD^2 = AD^2$, треугольник $ABD$ является прямоугольным, а его гипотенуза $AD$ — диаметром описанной окружности.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы. Этот радиус и будет радиусом описанной сферы $R_{сф}$.

$R_{сф} = \frac{AD}{2} = \frac{50}{2} = 25$ см.

Ответ: 25 см.

222. Диагональ осевого сечения усечённого конуса перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Угол между этой диагональю и плоскостью основания усечённого конуса равен $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если радиус шара, описанного около него, равен 12 см.

222. Диагональ осевого сечения усечённого конуса перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Угол между этой диагональю и плоскостью основания усечённого конуса равен $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если радиус шара, описанного около него, равен 12 см.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобедренная трапеция. Обозначим её вершины $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, являющиеся диаметрами оснований конуса. Пусть $R$ — радиус нижнего (большего) основания, тогда $AD = 2R$. Пусть $r$ — радиус верхнего (меньшего) основания, тогда $BC = 2r$. $CD$ — образующая конуса, её длина равна $l$. $AC$ — диагональ осевого сечения.

1. Анализ геометрии осевого сечения

По условию задачи, диагональ осевого сечения перпендикулярна его образующей. Это означает, что в трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$. Таким образом, треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ACD = 90^\circ$.

Угол между диагональю $AC$ и плоскостью основания усечённого конуса — это угол между отрезком $AC$ и его проекцией на эту плоскость. Поскольку $AD$ лежит в плоскости основания, этот угол равен $\angle CAD$. По условию, $\angle CAD = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Сумма острых углов в нём равна $90^\circ$, поэтому угол $\angle ADC = 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Этот угол является углом наклона образующей конуса к плоскости его большего основания.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $ACD$ мы можем выразить его стороны друг через друга:
$CD = AD \cdot \cos(\angle ADC) \implies l = 2R \cdot \cos(60^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$.
Итак, длина образующей равна радиусу большего основания.

Проведём высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $KD$ равен полуразности оснований: $KD = \frac{AD-BC}{2} = \frac{2R-2r}{2} = R-r$.
В прямоугольном треугольнике $CKD$ имеем: $KD = CD \cdot \cos(\angle CDK) = l \cdot \cos(60^\circ) = l \cdot \frac{1}{2}$.
Приравнивая выражения для $KD$, получаем: $R-r = \frac{l}{2}$.
Так как мы уже нашли, что $l=R$, подставим это в равенство: $R-r = \frac{R}{2}$, откуда $r = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$.
Таким образом, радиус меньшего основания в два раза меньше радиуса большего основания.

Ответ: Установлены соотношения между параметрами конуса: $l=R$ и $r=\frac{R}{2}$.

2. Использование радиуса описанной сферы

Если шар описан около усечённого конуса, то окружности его оснований лежат на поверхности этого шара. Следовательно, осевое сечение (трапеция $ABCD$) вписано в большой круг шара, радиус которого равен радиусу шара $R_{сферы} = 12$ см.

Радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника $ACD$. Применим теорему синусов к треугольнику $ACD$:
$\frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = 2R_{сферы}$
Подставим известные нам значения: $AD=2R$, $\angle ACD = 90^\circ$, $R_{сферы} = 12$ см.
$\frac{2R}{\sin(90^\circ)} = 2 \cdot 12$
$\frac{2R}{1} = 24$
$R = 12$ см.

Теперь, зная $R$, найдём остальные параметры конуса, используя соотношения, полученные в первом пункте:
Образующая $l = R = 12$ см.
Радиус меньшего основания $r = \frac{R}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: Радиус большего основания $R=12$ см, радиус меньшего основания $r=6$ см, образующая $l=12$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi(R+r)l$
Подставим найденные значения $R=12$ см, $r=6$ см и $l=12$ см в формулу:
$S_{бок} = \pi(12+6) \cdot 12 = \pi \cdot 18 \cdot 12 = 216\pi$ см².

Ответ: $216\pi$ см².

223. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, $R > r$, а угол между образующей усечённого конуса и его высотой равен $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

223. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, $R > r$, а угол между образующей усечённого конуса и его высотой равен $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и описанного около него шара. Сечением является равнобокая трапеция, вписанная в большую окружность шара. Радиус этой окружности и есть искомый радиус шара $R_{ш}$.

Пусть основания трапеции равны $2R$ и $2r$, боковая сторона (образующая конуса) равна $l$, а высота (высота конуса) равна $h$. Угол между образующей и высотой по условию равен $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, образующей $l$ и разностью радиусов оснований $R-r$. В этом треугольнике:
Катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $R-r$.
Катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $h$.
Гипотенуза равна $l$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:
$R-r = l \sin(\alpha) \implies l = \frac{R-r}{\sin(\alpha)}$
$h = l \cos(\alpha) = \frac{R-r}{\sin(\alpha)}\cos(\alpha) = (R-r)\cot(\alpha)$

Радиус шара $R_{ш}$ является радиусом окружности, описанной около равнобокой трапеции. Этот радиус совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного боковой стороной, диагональю и большим основанием трапеции.

Обозначим диагональ трапеции как $d$. Найдем ее, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного высотой $h$, диагональю $d$ и отрезком, равным $R+r$:
$d^2 = h^2 + (R+r)^2$

Теперь воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности треугольника со сторонами $a, b, c$ и площадью $S$: $R_{окр} = \frac{abc}{4S}$.
В нашем случае, для треугольника, образованного большим основанием $2R$, боковой стороной $l$ и диагональю $d$, имеем:
Стороны: $a = 2R$, $b = l$, $c = d$.
Площадь этого треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot (\text{основание}) \cdot (\text{высота}) = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot h = Rh$.
Тогда радиус шара $R_{ш}$:
$R_{ш} = \frac{2R \cdot l \cdot d}{4 \cdot Rh} = \frac{ld}{2h}$

Из соотношения $h = l \cos(\alpha)$ следует, что $\frac{l}{h} = \frac{1}{\cos(\alpha)}$. Подставим это в формулу для $R_{ш}$:
$R_{ш} = \frac{l}{2h} \cdot d = \frac{1}{2\cos(\alpha)} \cdot d = \frac{1}{2\cos(\alpha)} \sqrt{h^2 + (R+r)^2}$

Теперь подставим выражение для $h$:
$R_{ш} = \frac{1}{2\cos(\alpha)} \sqrt{((R-r)\cot(\alpha))^2 + (R+r)^2}$
$R_{ш} = \frac{1}{2\cos(\alpha)} \sqrt{(R-r)^2 \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} + (R+r)^2}$
Вынесем $\sin(\alpha)$ из-под корня:
$R_{ш} = \frac{1}{2\cos(\alpha)\sin(\alpha)} \sqrt{(R-r)^2\cos^2(\alpha) + (R+r)^2\sin^2(\alpha)}$
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $, получаем:
$R_{ш} = \frac{1}{\sin(2\alpha)} \sqrt{(R^2 - 2Rr + r^2)\cos^2(\alpha) + (R^2 + 2Rr + r^2)\sin^2(\alpha)}$
Раскроем скобки под корнем и сгруппируем слагаемые:
$R_{ш} = \frac{1}{\sin(2\alpha)} \sqrt{R^2(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) + r^2(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) - 2Rr(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha))}$
Применим тригонометрические тождества $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$ и $\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = \cos(2\alpha)$:
$R_{ш} = \frac{1}{\sin(2\alpha)} \sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos(2\alpha)}$

Ответ: $ \frac{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos(2\alpha)}}{\sin(2\alpha)} $