Страница 66 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

244.В правильной треугольной призме диагональ боковой грани равна $25 \text{ см}$, а площадь боковой поверхности — $504 \text{ см}^2$. Найдите объём призмы.

244. В правильной треугольной призме диагональ боковой грани равна $25 \text{ см}$, а площадь боковой поверхности — $504 \text{ см}^2$. Найдите объём призмы.

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$, а её высота — $H$.

Боковая грань такой призмы является прямоугольником со сторонами $a$ и $H$. Диагональ боковой грани $d$, по условию равная 25 см, связана со сторонами $a$ и $H$ теоремой Пифагора:
$a^2 + H^2 = d^2$
$a^2 + H^2 = 25^2 = 625$

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной треугольной призмы состоит из площадей трёх одинаковых боковых граней. Она вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания. Периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $3a$.
По условию, $S_{бок} = 504$ см².
$3aH = 504$
Разделив обе части на 3, получим:
$aH = 168$

Для нахождения $a$ и $H$ необходимо решить систему уравнений:
$\begin{cases} a^2 + H^2 = 625 \\ aH = 168 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $H = \frac{168}{a}$ и подставим в первое:
$a^2 + \left(\frac{168}{a}\right)^2 = 625$
$a^2 + \frac{28224}{a^2} = 625$
Домножим уравнение на $a^2$ (так как $a > 0$) и перенесем все члены в одну сторону:
$a^4 - 625a^2 + 28224 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену $x = a^2$ (где $x>0$):
$x^2 - 625x + 28224 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = (-625)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28224 = 390625 - 112896 = 277729$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{277729} = 527$.
Найдем корни уравнения для $x$:
$x_1 = \frac{625 + 527}{2} = \frac{1152}{2} = 576$
$x_2 = \frac{625 - 527}{2} = \frac{98}{2} = 49$

Вернемся к замене $a^2 = x$. Получаем два возможных случая:
1) $a^2 = 576 \implies a = 24$ см. Тогда $H = \frac{168}{24} = 7$ см.
2) $a^2 = 49 \implies a = 7$ см. Тогда $H = \frac{168}{7} = 24$ см.

Оба набора размеров удовлетворяют условиям задачи. Теперь найдем объем призмы для каждого случая. Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$. Площадь основания (равностороннего треугольника) равна $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

В первом случае ($a=24, H=7$):
$V_1 = \frac{24^2\sqrt{3}}{4} \cdot 7 = \frac{576\sqrt{3}}{4} \cdot 7 = 144\sqrt{3} \cdot 7 = 1008\sqrt{3}$ см³.

Во втором случае ($a=7, H=24$):
$V_2 = \frac{7^2\sqrt{3}}{4} \cdot 24 = \frac{49\sqrt{3}}{4} \cdot 24 = 49\sqrt{3} \cdot 6 = 294\sqrt{3}$ см³.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $1008\sqrt{3}$ см³ или $294\sqrt{3}$ см³.

245. Точки $M$, $K$ и $N$ — середины соответственно рёбер $AB$, $BC$ и $A_1B_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью $MKN$, равен $V$. Найдите объём данного куба.

245. Точки $M$, $K$ и $N$ — середины соответственно рёбер $AB$, $BC$ и $A_1B_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью $MKN$, равен $V$. Найдите объём данного куба.

Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Тогда объём куба $V_{куба}$ вычисляется по формуле $V_{куба} = a^3$.

По условию, точки $M$, $K$ и $N$ являются серединами рёбер $AB$, $BC$ и $A_1B_1$ соответственно. Плоскость, проходящая через эти три точки, отсекает от куба тело, которое, как указано в условии, является треугольной призмой.

Основанием этой призмы является треугольник $MBK$, лежащий в плоскости основания куба $ABCD$. Так как рёбра куба $AB$ и $BC$ перпендикулярны, то треугольник $MBK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Поскольку $M$ — середина $AB$, а $K$ — середина $BC$, длины катетов этого треугольника равны: $MB = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$ и $BK = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$.

Площадь основания призмы, то есть площадь треугольника $MBK$, равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$.

Теперь определим высоту призмы. Точка $M$ является серединой ребра $AB$, а точка $N$ — серединой параллельного ему ребра $A_1B_1$. Отрезок $MN$ соединяет середины этих рёбер, поэтому он параллелен боковому ребру $AA_1$ и его длина равна $a$. Так как секущая плоскость $MKN$ содержит прямую $MN$, которая перпендикулярна основанию $ABCD$, то и сама плоскость перпендикулярна основанию. Это означает, что отсечённое тело является прямой треугольной призмой.

Высота этой прямой призмы $h$ равна длине бокового ребра куба, то есть $h = a$.

Объём призмы $V$ равен произведению площади её основания на высоту:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{a^2}{8} \cdot a = \frac{a^3}{8}$.

Из этого соотношения мы можем выразить объём куба $V_{куба} = a^3$ через известный объём призмы $V$:

$a^3 = 8V$.

Таким образом, объём данного куба равен $8V$.

Ответ: $8V$.

246. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ диагональ $AC_1$ равна $d$ и образует со стороной $AB$ угол $\alpha$. Плоскость, проходящая через точки $C$, $D$ и $B_1$, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём параллелепипеда.

246. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ диагональ $AC_1$ равна $d$ и образует со стороной $AB$ угол $\alpha$. Плоскость, проходящая через точки $C, D$ и $B_1$, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны $AB = a$, $AD = b$ и $AA_1 = h$. Объём параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abh$.

Рассмотрим диагональ параллелепипеда $AC_1 = d$ и ребро $AB = a$. Так как параллелепипед прямоугольный, ребро $AB$ перпендикулярно грани $BCC_1B_1$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой грани, в том числе $BC_1$. Следовательно, треугольник $ABC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. По условию, угол между диагональю $AC_1$ и стороной $AB$ равен $\alpha$, то есть $\angle C_1AB = \alpha$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике $ABC_1$ находим катеты:$a = AB = AC_1 \cos \alpha = d \cos \alpha$$BC_1 = AC_1 \sin \alpha = d \sin \alpha$

Диагональ $BC_1$ принадлежит грани $BCC_1B_1$. В прямоугольном треугольнике $BCC_1$ по теореме Пифагора $BC^2 + CC_1^2 = BC_1^2$, что в наших обозначениях дает первое уравнение, связывающее $b$ и $h$:$b^2 + h^2 = (d \sin \alpha)^2 = d^2 \sin^2 \alpha$.

Теперь используем второе условие: плоскость, проходящая через точки $C$, $D$ и $B_1$, образует с плоскостью основания $(ABCD)$ угол $\beta$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $CD$. Угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения из одной точки. В плоскости основания $AD \perp CD$. В секущей плоскости $(CDB_1)$ перпендикуляром к $CD$ будет $DA_1$, так как $CD \parallel AB$, а ребро $AB$ перпендикулярно всей грани $ADD_1A_1$ и, следовательно, прямой $DA_1$. Таким образом, искомый угол $\beta$ равен углу $\angle A_1DA$.

В прямоугольном треугольнике $A_1AD$ с катетами $AD = b$ и $AA_1 = h$, из определения тангенса угла $\angle A_1DA = \beta$ получаем второе уравнение:$\tan \beta = \frac{AA_1}{AD} = \frac{h}{b}$, откуда $h = b \tan \beta$.

Решим систему из двух полученных уравнений:$\begin{cases} b^2 + h^2 = d^2 \sin^2 \alpha \\ h = b \tan \beta \end{cases}$

Подставив второе уравнение в первое, получаем:$b^2 + (b \tan \beta)^2 = d^2 \sin^2 \alpha \implies b^2(1 + \tan^2 \beta) = d^2 \sin^2 \alpha$.Используя тригонометрическое тождество $1 + \tan^2 \beta = 1/\cos^2 \beta$, находим $b$:$b^2 / \cos^2 \beta = d^2 \sin^2 \alpha \implies b^2 = d^2 \sin^2 \alpha \cos^2 \beta \implies b = d \sin \alpha \cos \beta$.

Теперь находим $h$:$h = b \tan \beta = (d \sin \alpha \cos \beta) \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = d \sin \alpha \sin \beta$.

Наконец, вычисляем объём параллелепипеда, перемножая его измерения:$V = a \cdot b \cdot h = (d \cos \alpha) \cdot (d \sin \alpha \cos \beta) \cdot (d \sin \alpha \sin \beta) = d^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha \sin \beta \cos \beta$.Это выражение можно также записать в виде $V = \frac{1}{2} d^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha \sin(2\beta)$.

Ответ: $V = d^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha \sin \beta \cos \beta$.

247. Одна из сторон основания прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 6 см, а диагональ основания — 12 см. Плоскость, проходящая через вершины $B, D$ и $C_1$, образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

247. Одна из сторон основания прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 6 см, а диагональ основания — 12 см. Плоскость, проходящая через вершины $B$, $D$ и $C_1$, образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда $V$ необходимо найти площадь его основания $S_{\text{осн}}$ и высоту $h$. Объём вычисляется по формуле $V = S_{\text{осн}} \cdot h$.

1. Нахождение сторон и площади основания

Основание $ABCD$ — прямоугольник. Пусть одна из его сторон $AB = 6$ см. Диагональ основания $BD = 12$ см. Треугольник $ABD$ является прямоугольным с гипотенузой $BD$. По теореме Пифагора найдём вторую сторону основания $AD$:

$AD^2 = BD^2 - AB^2$

$AD^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108$

$AD = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь основания:

$S_{\text{осн}} = AB \cdot AD = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Нахождение высоты параллелепипеда

Плоскость, проходящая через вершины $B, D$ и $C_1$, пересекает плоскость основания $ABCD$ по прямой $BD$. Угол между этими плоскостями по условию равен $30^\circ$. Этот угол является двугранным углом, и его мерой служит линейный угол, построенный на ребре $BD$.

Для построения линейного угла проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к гипотенузе $BD$ в прямоугольном треугольнике $BCD$. Таким образом, $CH \perp BD$.

Поскольку $C_1C$ — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда, оно перпендикулярно плоскости основания ($C_1C \perp ABCD$). $CH$ является проекцией наклонной $C_1H$ на плоскость основания. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если проекция прямой ($CH$) перпендикулярна другой прямой ($BD$), то и сама наклонная ($C_1H$) перпендикулярна этой прямой ($BD$).

Таким образом, $\angle C_1HC$ — это линейный угол двугранного угла, и $\angle C_1HC = 30^\circ$.

Найдём длину $CH$. Площадь треугольника $BCD$ можно вычислить как половину произведения катетов $BC$ и $CD$ (где $BC=AD=6\sqrt{3}$ см, а $CD=AB=6$ см), а также как половину произведения гипотенузы $BD$ на высоту $CH$.

$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3}$ см$^2$.

$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot CH = 6 \cdot CH$.

Приравниваем оба выражения:

$6 \cdot CH = 18\sqrt{3} \implies CH = \frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $C_1CH$ (угол $\angle C$ прямой). Высота параллелепипеда $h = C_1C$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике:

$\text{tg}(\angle C_1HC) = \frac{C_1C}{CH} \implies h = C_1C = CH \cdot \text{tg}(30^\circ)$.

$h = 3\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 3$ см.

3. Нахождение объёма параллелепипеда

Теперь, зная площадь основания и высоту, находим объём:

$V = S_{\text{осн}} \cdot h = 36\sqrt{3} \cdot 3 = 108\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $108\sqrt{3}$ см$^3$.

248. Основанием наклонной призмы является ромб, большая диагональ которого равна 8 см, а острый угол — $60^\circ$. Боковое ребро призмы равно 12 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

248. Основанием наклонной призмы является ромб, большая диагональ которого равна 8 см, а острый угол — $60^\circ$. Боковое ребро призмы равно 12 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.

Основание — ромб с острым углом $60°$ и большей диагональю $d_1 = 8$ см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, делятся в точке пересечения пополам и являются биссектрисами его углов. Таким образом, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с острыми углами $60°/2 = 30°$ и $(180°-60°)/2 = 60°$.

Катеты этих треугольников равны половинам диагоналей: $d_1/2$ и $d_2/2$. В прямоугольном треугольнике большей стороне (катету) противолежит больший угол. Следовательно, половина большей диагонали $d_1/2 = 8/2 = 4$ см лежит напротив угла $60°$, а половина меньшей диагонали $d_2/2$ — напротив угла $30°$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(30°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{d_2/2}{d_1/2} = \frac{d_2}{d_1}$

Зная, что $d_1 = 8$ см, находим меньшую диагональ $d_2$:

$d_2 = d_1 \cdot \tan(30°) = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{32}{\sqrt{3}} = \frac{32\sqrt{3}}{3}$ см².

2. Найдем высоту призмы.

Высота наклонной призмы $H$ связана с её боковым ребром $L$ и углом $\beta$, который ребро образует с плоскостью основания, следующим соотношением:

$H = L \cdot \sin(\beta)$

По условию задачи $L = 12$ см и $\beta = 30°$. Подставляем эти значения:

$H = 12 \cdot \sin(30°) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

3. Найдем объём призмы.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объёма:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{32\sqrt{3}}{3} \cdot 6 = 32\sqrt{3} \cdot 2 = 64\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $64\sqrt{3}$ см³.

249. Основанием наклонной призмы является квадрат. Высота призмы равна $h$. Проекцией одной из вершин верхнего основания на плоскость нижнего основания является центр нижнего основания, а боковое ребро призмы образует с её высотой угол $\beta$. Найдите объём призмы.

249. Основанием наклонной призмы является квадрат. Высота призмы равна $h$. Проекцией одной из вершин верхнего основания на плоскость нижнего основания является центр нижнего основания, а боковое ребро призмы образует с её высотой угол $\beta$. Найдите объём призмы.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

По условию, высота призмы равна $h$. Основанием является квадрат. Обозначим сторону квадрата как $a$. Тогда площадь основания будет $S_{осн} = a^2$. Для нахождения объема необходимо выразить сторону квадрата $a$ через известные величины.

Пусть нижнее основание призмы — это квадрат $ABCD$, а верхнее — $A_1B_1C_1D_1$. Пусть $O$ — центр нижнего основания (точка пересечения его диагоналей).

По условию, проекцией одной из вершин верхнего основания (пусть это будет вершина $A_1$) на плоскость нижнего основания является центр этого основания — точка $O$. Это означает, что отрезок $A_1O$ является высотой призмы, то есть $A_1O = h$, и $A_1O$ перпендикулярен плоскости основания $ABCD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1OA$. Он является прямоугольным, так как $\angle A_1OA = 90^\circ$ (поскольку $A_1O$ перпендикулярен всей плоскости, в которой лежит отрезок $OA$). В этом треугольнике:

• $A_1O = h$ — катет, равный высоте призмы.
• $A_1A$ — гипотенуза, являющаяся боковым ребром призмы.
• $OA$ — катет, являющийся проекцией бокового ребра $A_1A$ на плоскость основания.

По условию, боковое ребро образует с высотой призмы угол $\beta$. В нашем случае это угол между ребром $A_1A$ и высотой $A_1O$, то есть $\angle OA_1A = \beta$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle A_1OA$ найдем длину катета $OA$ через другой катет $A_1O$ и прилежащий к нему угол $\beta$:

$\tan(\beta) = \frac{OA}{A_1O}$

Отсюда $OA = A_1O \cdot \tan(\beta) = h \cdot \tan(\beta)$.

Отрезок $OA$ является половиной диагонали квадрата $ABCD$. Если сторона квадрата равна $a$, то его диагональ $AC$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно:

$OA = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для $OA$:

$\frac{a\sqrt{2}}{2} = h \cdot \tan(\beta)$

Выразим из этого равенства сторону квадрата $a$:

$a\sqrt{2} = 2h \cdot \tan(\beta)$

$a = \frac{2h \cdot \tan(\beta)}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}h \cdot \tan(\beta)$

Теперь найдем площадь основания призмы:

$S_{осн} = a^2 = (\sqrt{2}h \cdot \tan(\beta))^2 = 2h^2\tan^2(\beta)$

Наконец, вычислим объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = (2h^2\tan^2(\beta)) \cdot h = 2h^3\tan^2(\beta)$

Ответ: $V = 2h^3\tan^2(\beta)$.

250. Боковое ребро наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равно 7 см, расстояние между прямыми $AA_1$ и $BB_1$ равно 6 см, между прямыми $BB_1$ и $CC_1$ — 25 см, а между прямыми $AA_1$ и $CC_1$ — 29 см. Найдите объём параллелепипеда.

250. Боковое ребро наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равно 7 см, расстояние между прямыми $AA_1$ и $BB_1$ равно 6 см, между прямыми $BB_1$ и $CC_1$ — 25 см, а между прямыми $AA_1$ и $CC_1$ — 29 см. Найдите объём параллелепипеда.

Объём наклонной призмы вычисляется по формуле $V = S_{перп} \cdot l$, где $l$ — длина бокового ребра, а $S_{перп}$ — площадь перпендикулярного сечения призмы (сечения, перпендикулярного боковым рёбрам).

Из условия задачи нам известны:

• Длина бокового ребра $l = 7$ см.
• Расстояния между боковыми рёбрами, которые являются сторонами перпендикулярного сечения.

Перпендикулярное сечение представляет собой треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$, равными расстояниям между параллельными боковыми рёбрами:

• $a = 6$ см (расстояние между $AA_1$ и $BB_1$)
• $b = 25$ см (расстояние между $BB_1$ и $CC_1$)
• $c = 29$ см (расстояние между $AA_1$ и $CC_1$)

Для нахождения площади этого треугольника ($S_{перп}$) воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

1. Найдём полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+25+29}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

2. Вычислим площадь перпендикулярного сечения $S_{перп}$:

$S_{перп} = \sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{3600} = 60$ см².

3. Теперь найдём объём призмы:

$V = S_{перп} \cdot l = 60 \text{ см}^2 \cdot 7 \text{ см} = 420$ см³.

Примечание: в условии задачи указана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, но требуется найти объём параллелепипеда. Вероятно, это опечатка, и имелся в виду объём указанной призмы. Решение приведено для объёма призмы.

Ответ: 420 см³.

251. Основанием наклонной призмы является квадрат со стороной 3 см. Боковое ребро призмы равно 4 см и образует с каждой из сторон основания, которую оно пересекает, угол $60^\circ$. Найдите объём призмы.

251. Основанием наклонной призмы является квадрат со стороной 3 см. Боковое ребро призмы равно 4 см и образует с каждой из сторон основания, которую оно пересекает, угол $60^\circ$. Найдите объём призмы.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{base} \cdot H$, где $S_{base}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания.

Основанием призмы является квадрат со стороной $a = 3$ см. Площадь квадрата равна:

$S_{base} = a^2 = 3^2 = 9$ см².

2. Найдём высоту призмы.

Высота наклонной призмы $H$ — это длина перпендикуляра, опущенного из любой вершины верхнего основания на плоскость нижнего основания. Длина бокового ребра $L = 4$ см.

Рассмотрим вершину основания. Из неё выходят две перпендикулярные стороны основания и боковое ребро. Введём систему координат так, чтобы эта вершина была в начале координат (0,0,0), а стороны основания лежали на осях Ox и Oy. Тогда плоскость основания совпадает с плоскостью Oxy.

По условию, боковое ребро образует угол $60^\circ$ с каждой из этих сторон. Это означает, что вектор бокового ребра $\vec{l}$ образует углы $\alpha = 60^\circ$ с осью Ox и $\beta = 60^\circ$ с осью Oy. Пусть $\gamma$ — угол, который боковое ребро образует с осью Oz, перпендикулярной основанию.

Сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице:

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$

Подставим известные значения:

$\cos^2(60^\circ) + \cos^2(60^\circ) + \cos^2\gamma = 1$

$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2\gamma = 1$

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2\gamma = 1$

$\frac{1}{2} + \cos^2\gamma = 1$

$\cos^2\gamma = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\cos\gamma = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Высота призмы $H$ — это проекция бокового ребра $L$ на ось Oz (направление, перпендикулярное основанию).

$H = L \cdot \cos\gamma = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

3. Найдём объём призмы.

Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объём:

$V = S_{base} \cdot H = 9 \cdot 2\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $18\sqrt{2}$ см³.