Страница 71 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

287. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, находящееся на расстоянии 4 см от его оси. Диагональ полученного сечения равна 10 см. Найдите объём цилиндра, если радиус его основания равен 5 см.

287. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, находящееся на расстоянии 4 см от его оси. Диагональ полученного сечения равна 10 см. Найдите объём цилиндра, если радиус его основания равен 5 см.

Для нахождения объёма цилиндра $V$ используется формула $V = \pi R^2 H$, где $R$ - радиус основания, а $H$ - высота цилиндра. Радиус основания нам известен из условия, $R = 5$ см. Нам необходимо найти высоту $H$.

Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника является хордой $a$ в основании цилиндра, а другая сторона равна высоте цилиндра $H$.

1. Нахождение ширины сечения (хорды $a$)

Рассмотрим основание цилиндра. Расстояние от центра основания (оси цилиндра) до хорды $a$ равно $d = 4$ см. Радиус основания $R = 5$ см. Радиус, проведенный к концу хорды, расстояние от центра до хорды и половина хорды $(\frac{a}{2})$ образуют прямоугольный треугольник, в котором радиус является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известные значения:

$5^2 = 4^2 + (\frac{a}{2})^2$

$25 = 16 + (\frac{a}{2})^2$

$(\frac{a}{2})^2 = 25 - 16 = 9$

$\frac{a}{2} = \sqrt{9} = 3$ см

Следовательно, длина хорды (ширина сечения) равна $a = 2 \cdot 3 = 6$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра $H$

Найденная ширина сечения $a = 6$ см и высота цилиндра $H$ являются сторонами прямоугольного сечения. Диагональ этого прямоугольника дана в условии и равна $D = 10$ см. Для прямоугольника справедливо соотношение по теореме Пифагора:

$D^2 = a^2 + H^2$

Подставим известные значения:

$10^2 = 6^2 + H^2$

$100 = 36 + H^2$

$H^2 = 100 - 36 = 64$

$H = \sqrt{64} = 8$ см

Таким образом, высота цилиндра равна 8 см.

3. Вычисление объёма цилиндра

Теперь, зная радиус основания $R=5$ см и высоту $H=8$ см, мы можем вычислить объём цилиндра:

$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 5^2 \cdot 8 = \pi \cdot 25 \cdot 8 = 200\pi$ см³.

Ответ: $200\pi$ см³.

288. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, длина которой равна $a$. Эту хорду видно из центра нижнего основания под углом $\alpha$, а из центра верхнего основания — под углом $\beta$. Найдите объём цилиндра.

288. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, длина которой равна $a$. Эту хорду видно из центра нижнего основания под углом $\alpha$, а из центра верхнего основания — под углом $\beta$. Найдите объём цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота. Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$. Для решения задачи необходимо выразить $R$ и $H$ через заданные параметры $a$, $\alpha$ и $\beta$.

1. Найдем радиус основания $R$.
Рассмотрим нижнее основание цилиндра. Пусть $O_1$ — его центр, а $AB$ — хорда длиной $a$. По условию, центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $\alpha$, то есть $\angle AO_1B = \alpha$.Треугольник $\triangle AO_1B$ является равнобедренным, так как $O_1A = O_1B = R$. Проведем в нем высоту $O_1M$ к основанию $AB$. Эта высота также является медианой и биссектрисой.Таким образом, $M$ — середина хорды $AB$, и $AM = a/2$. Угол $\angle AO_1M = \alpha/2$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AO_1M$. Из соотношения сторон и углов имеем:$\sin(\angle AO_1M) = \frac{AM}{O_1A}$$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{R}$Отсюда выражаем радиус основания:$R = \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$Следовательно, площадь основания $S_{осн} = \pi R^2 = \pi \frac{a^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

2. Найдем высоту цилиндра $H$.
Пусть $O_2$ — центр верхнего основания. По условию, хорду $AB$ видно из точки $O_2$ под углом $\beta$, то есть $\angle AO_2B = \beta$.Рассмотрим треугольник $\triangle AO_2B$. Он также равнобедренный, так как отрезки $O_2A$ и $O_2B$ равны. Проведем в нем высоту $O_2M$ к основанию $AB$. $M$ — та же середина хорды $AB$.В прямоугольном треугольнике $\triangle AO_2M$ угол $\angle AO_2M = \beta/2$.Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1O_2M$. Его катетами являются высота цилиндра $H=O_1O_2$ и отрезок $O_1M$, соединяющий центр нижнего основания с серединой хорды. Гипотенузой является отрезок $O_2M$.По теореме Пифагора: $O_2M^2 = O_1M^2 + H^2$, откуда $H^2 = O_2M^2 - O_1M^2$.Найдем длины катетов $O_1M$ и $O_2M$ из треугольников $\triangle AO_1M$ и $\triangle AO_2M$ соответственно:Из $\triangle AO_1M$:$\text{ctg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{O_1M}{AM} \implies O_1M = AM \cdot \text{ctg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a}{2}\text{ctg}(\frac{\alpha}{2})$Из $\triangle AO_2M$:$\text{ctg}(\frac{\beta}{2}) = \frac{O_2M}{AM} \implies O_2M = AM \cdot \text{ctg}(\frac{\beta}{2}) = \frac{a}{2}\text{ctg}(\frac{\beta}{2})$Теперь подставим эти выражения в формулу для $H^2$:$H^2 = \left(\frac{a}{2}\text{ctg}(\frac{\beta}{2})\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\text{ctg}(\frac{\alpha}{2})\right)^2 = \frac{a^2}{4}\left(\text{ctg}^2\frac{\beta}{2} - \text{ctg}^2\frac{\alpha}{2}\right)$Отсюда высота цилиндра:$H = \frac{a}{2}\sqrt{\text{ctg}^2\frac{\beta}{2} - \text{ctg}^2\frac{\alpha}{2}}$(Заметим, что так как точка $O_2$ дальше от хорды, чем $O_1$, угол $\beta$ меньше угла $\alpha$, что обеспечивает положительность подкоренного выражения).

3. Найдем объем цилиндра $V$.
Подставим найденные выражения для $R^2$ и $H$ в формулу объема:$V = \pi R^2 H = \pi \cdot \frac{a^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{a}{2}\sqrt{\text{ctg}^2\frac{\beta}{2} - \text{ctg}^2\frac{\alpha}{2}}$$V = \frac{\pi a^3}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})}\sqrt{\text{ctg}^2\frac{\beta}{2} - \text{ctg}^2\frac{\alpha}{2}}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3}{8\sin^2(\frac{\alpha}{2})}\sqrt{\text{ctg}^2\frac{\beta}{2} - \text{ctg}^2\frac{\alpha}{2}}$

289. Объем цилиндра равен $V$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол $\phi$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

289. Объём цилиндра равен $V$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол $\varphi$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, $H$ — его высота, а $V$ — объем. Площадь осевого сечения $S_{ос}$ находится по формуле $S_{ос} = 2RH$. Объем цилиндра равен $V = \pi R^2 H$.

Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, является гипотенузой прямоугольного треугольника. Катетами этого треугольника являются высота цилиндра $H$ и радиус основания $R$. Угол $φ$, который этот отрезок образует с плоскостью основания, — это угол между гипотенузой и катетом $R$.

Из определения тангенса в этом прямоугольном треугольнике следует соотношение: $\tan(φ) = \frac{H}{R}$

Из этого соотношения выразим высоту $H$: $H = R \tan(φ)$

Подставим это выражение в формулу объема, чтобы выразить радиус $R$ через известные величины $V$ и $φ$: $V = \pi R^2 (R \tan(φ)) = \pi R^3 \tan(φ)$

Отсюда находим $R^3$: $R^3 = \frac{V}{\pi \tan(φ)}$

Тогда радиус равен: $R = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi \tan(φ)}}$

Теперь найдем высоту $H$: $H = R \tan(φ) = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi \tan(φ)}} \cdot \tan(φ) = \sqrt[3]{\frac{V \tan^3(φ)}{\pi \tan(φ)}} = \sqrt[3]{\frac{V \tan^2(φ)}{\pi}}$

Наконец, вычислим площадь осевого сечения, подставив найденные выражения для $R$ и $H$: $S_{ос} = 2RH = 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{V}{\pi \tan(φ)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{V \tan^2(φ)}{\pi}} = 2 \sqrt[3]{\frac{V \cdot V \tan^2(φ)}{\pi \tan(φ) \cdot \pi}} = 2 \sqrt[3]{\frac{V^2 \tan(φ)}{\pi^2}}$

Ответ: $2 \sqrt[3]{\frac{V^2 \tan(φ)}{\pi^2}}$

290. В цилиндр вписана правильная четырёхугольная призма. Найдите отношение объёма этой призмы к объёму цилиндра.

290. В цилиндр вписана правильная четырёхугольная призма. Найдите отношение объёма этой призмы к объёму цилиндра.

Пусть $H$ — высота цилиндра и вписанной в него призмы, а $R$ — радиус основания цилиндра. Объём цилиндра $V_{цил}$ определяется формулой $V_{цил} = \pi R^2 H$.

Основанием правильной четырёхугольной призмы является квадрат. Поскольку призма вписана в цилиндр, её основание (квадрат) вписано в основание цилиндра (круг). Это означает, что вершины квадрата лежат на окружности основания цилиндра.

Диагональ $d$ этого квадрата равна диаметру $D$ окружности основания цилиндра, то есть $d = D = 2R$.

Пусть $a$ — сторона квадрата. Диагональ квадрата связана с его стороной соотношением $d = a\sqrt{2}$. Подставив известное значение диагонали, получим $a\sqrt{2} = 2R$.

Отсюда можно выразить сторону квадрата $a$ через радиус $R$: $a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$.

Площадь основания призмы $S_{пр}$, которая является площадью квадрата, равна $S_{пр} = a^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2$.

Объём призмы $V_{пр}$ вычисляется как произведение площади основания на высоту: $V_{пр} = S_{пр} \cdot H = 2R^2 H$.

Найдём искомое отношение объёма призмы к объёму цилиндра:$\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{2R^2 H}{\pi R^2 H}$.

После сокращения общих множителей $R^2 H$ в числителе и знаменателе, получаем:$\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{2}{\pi}$.

Ответ: $\frac{2}{\pi}$

291. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Угол между диагональю боковой грани, содержащей гипотенузу основания, и плоскостью основания равен $60^\circ$. Найдите объём цилиндра, описанного около данной призмы.

291. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Угол между диагональю боковой грани, содержащей гипотенузу основания, и плоскостью основания равен 60°. Найдите объём цилиндра, описанного около данной призмы.

Для того чтобы найти объём цилиндра, описанного около прямой призмы, необходимо определить радиус его основания $R$ и высоту $H$. Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$.

Поскольку цилиндр описан около прямой призмы, их высоты совпадают, а основание цилиндра представляет собой окружность, описанную около основания призмы.

1. Нахождение радиуса основания цилиндра.
Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Найдем его гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине гипотенузы, а ее радиус $R$ равен половине длины гипотенузы. Таким образом, радиус основания цилиндра равен:
$R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра.
Высота цилиндра $H$ равна высоте призмы. Рассмотрим боковую грань призмы, содержащую гипотенузу $c$. Эта грань является прямоугольником со сторонами $c$ и $H$. Диагональ этой грани, сама гипотенуза $c$ и боковое ребро призмы (высота $H$) образуют прямоугольный треугольник.

Угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания по условию равен $60^\circ$. В данном случае, это угол между диагональю и гипотенузой $c$ (которая является проекцией диагонали на плоскость основания). В образовавшемся прямоугольном треугольнике с катетами $H$ и $c$, мы можем найти $H$ через тангенс этого угла:
$\tan(60^\circ) = \frac{H}{c}$
Отсюда выражаем высоту $H$:
$H = c \cdot \tan(60^\circ) = 10 \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$ см.

3. Вычисление объёма цилиндра.
Подставим найденные значения радиуса $R = 5$ см и высоты $H = 10\sqrt{3}$ см в формулу объёма цилиндра:
$V = \pi R^2 H = \pi \cdot (5)^2 \cdot 10\sqrt{3} = \pi \cdot 25 \cdot 10\sqrt{3} = 250\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $250\pi\sqrt{3}$ см³.

292. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с основанием $a$ и углом $\alpha$ при вершине. Диагональ боковой грани призмы, содержащей основащей основание равнобедренного треугольника, наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём цилиндра, описанного около призмы.

292. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с основанием $a$ и углом $\alpha$ при вершине. Диагональ боковой грани призмы, содержащей основание равнобедренного треугольника, наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём цилиндра, описанного около призмы.

Для нахождения объёма цилиндра, описанного около призмы, необходимо найти его высоту $H$ и радиус основания $R$. Объём вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$.

1. Нахождение высоты цилиндра H

Так как призма прямая, а цилиндр описан около неё, высота цилиндра $H$ совпадает с высотой (боковым ребром) призмы. Рассмотрим боковую грань призмы, которая содержит основание $a$ равнобедренного треугольника. Эта грань представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $H$. Диагональ этой грани, её проекция на плоскость основания (которая совпадает со стороной $a$) и боковое ребро призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и её проекцией по условию равен $\beta$. В этом прямоугольном треугольнике катет $H$ является противолежащим углу $\beta$, а катет $a$ — прилежащим. Следовательно, мы можем использовать тангенс угла:
$\tan(\beta) = \frac{H}{a}$
Отсюда выражаем высоту:
$H = a \cdot \tan(\beta)$

2. Нахождение радиуса основания цилиндра R

Основанием цилиндра является круг, описанный около основания призмы. Таким образом, радиус основания цилиндра $R$ — это радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника в основании призмы. Этот треугольник имеет основание $a$ и угол при вершине (противолежащий основанию) $\alpha$. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника:
$\frac{a}{\sin(\alpha)} = 2R$
Отсюда выражаем радиус:
$R = \frac{a}{2 \sin(\alpha)}$

3. Вычисление объёма цилиндра V

Подставим найденные значения высоты $H$ и радиуса $R$ в формулу объёма цилиндра $V = \pi R^2 H$:
$V = \pi \cdot \left(\frac{a}{2 \sin(\alpha)}\right)^2 \cdot (a \tan(\beta))$
$V = \pi \cdot \frac{a^2}{4 \sin^2(\alpha)} \cdot a \tan(\beta)$
$V = \frac{\pi a^3 \tan(\beta)}{4 \sin^2(\alpha)}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \tan(\beta)}{4 \sin^2(\alpha)}$

293. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4 см, а боковое ребро — 3 см. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

293. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4 см, а боковое ребро — 3 см. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

1. Определение параметров вписанного цилиндра

Поскольку цилиндр вписан в правильную треугольную призму, его высота $h$ равна высоте призмы, а основание цилиндра (окружность) вписано в основание призмы (правильный треугольник).

Высота призмы равна её боковому ребру, следовательно, высота цилиндра:

$h = 3$ см.

2. Нахождение радиуса основания цилиндра

Радиус $R$ основания цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник, который является основанием призмы. Сторона этого треугольника по условию $a = 4$ см.

Формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности:

$R = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 4$ см:

$R = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см.

Для удобства вычислений избавимся от иррациональности в знаменателе:

$R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

3. Вычисление объёма цилиндра

Теперь, зная радиус $R = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см и высоту $h = 3$ см, вычислим объём цилиндра:

$V = \pi R^2 h = \pi \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 \cdot 3$

$V = \pi \cdot \frac{2^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{3^2} \cdot 3$

$V = \pi \cdot \frac{4 \cdot 3}{9} \cdot 3$

$V = \pi \cdot \frac{12}{9} \cdot 3$

$V = \pi \cdot \frac{4}{3} \cdot 3 = 4\pi$ см³.

Ответ: $4\pi$ см³.

294. Основанием прямой призмы является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

294. Основанием прямой призмы является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

Объём вписанного цилиндра находится по формуле $V = \pi r^2 H$, где $r$ — это радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Так как цилиндр вписан в прямую призму, его высота $H$ равна высоте призмы, а его основание (окружность) вписано в основание призмы (ромб).

Радиус $r$ окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты ромба $h_{ромба}$. Высоту ромба можно выразить через его сторону $a$ и острый угол $\alpha$: $h_{ромба} = a \sin(\alpha)$.Следовательно, радиус основания цилиндра равен:$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$.

Высоту призмы $H$ найдём из прямоугольного треугольника, который образован большей диагональю призмы, её проекцией на основание (которая является большей диагональю ромба $d_{б}$) и боковым ребром призмы (равным высоте $H$). По условию, угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен $\beta$.Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем: $H = d_{б} \cdot \tan(\beta)$.

Найдём большую диагональ ромба $d_{б}$. Её можно найти по теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба $a$ и тупым углом $(180^\circ - \alpha)$, лежащим против этой диагонали:$d_{б}^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(180^\circ - \alpha) = 2a^2(1 + \cos\alpha)$.Используя формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos\alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:$d_{б}^2 = 2a^2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$.Отсюда, $d_{б} = 2a \cos(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь можем найти высоту призмы:$H = 2a \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$.

Подставим найденные выражения для радиуса $r$ и высоты $H$ в формулу объёма цилиндра:$V = \pi r^2 H = \pi \left( \frac{a \sin(\alpha)}{2} \right)^2 \cdot \left( 2a \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta) \right)$.

Упростим полученное выражение:$V = \pi \cdot \frac{a^2 \sin^2(\alpha)}{4} \cdot 2a \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta) = \frac{\pi a^3 \sin^2(\alpha) \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{2}$.

Ответ: $V = \frac{1}{2}\pi a^3 \sin^2(\alpha) \cos(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$.

295. Радиус основания конуса равен 3 см, а его высота — 4 см. Найдите объём конуса.

295. Радиус основания конуса равен 3 см, а его высота — 4 см. Найдите объём конуса.

Для нахождения объёма конуса используется формула:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$,
где $V$ — объём, $r$ — радиус основания, $h$ — высота.
Согласно условию задачи, нам даны:
Радиус основания $r = 3$ см.
Высота $h = 4$ см.
Подставим известные значения в формулу для вычисления объёма:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (3)^2 \cdot 4$
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 4$
$V = 3 \pi \cdot 4$
$V = 12\pi$
Таким образом, объём конуса равен $12\pi$ кубических сантиметров.
Ответ: $12\pi \text{ см}^3$.

296. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости его основания под углом $45^{\circ}$. Найдите объём конуса.

296. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости его основания под углом $45^\circ$. Найдите объём конуса.

Для нахождения объёма конуса используется формула $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $H$ – высота конуса. Так как основанием конуса является круг, его площадь равна $S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ – радиус основания. Таким образом, формула для объёма конуса имеет вид:$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$ (катет), радиусом основания $R$ (катет) и образующей $L$ (гипотенуза).

По условию задачи, длина образующей равна $a$, то есть $L = a$. Угол наклона образующей к плоскости основания – это угол между образующей $L$ и радиусом $R$ в этом прямоугольном треугольнике. Этот угол равен $45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $L$ и острым углом $45^\circ$ катеты $H$ и $R$ связаны с гипотенузой следующими соотношениями:$H = L \cdot \sin(45^\circ)$$R = L \cdot \cos(45^\circ)$

Подставим известные значения $L=a$ и значения тригонометрических функций $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:$H = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$R = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$Поскольку угол равен $45^\circ$, то рассматриваемый прямоугольный треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $H=R$.

Теперь подставим найденные выражения для $H$ и $R$ в формулу объёма конуса:$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \left( a \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \left( a \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

Выполним вычисления:$V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{a^2 \cdot (\sqrt{2})^2}{2^2} \right) \left( a \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{a^2 \cdot 2}{4} \right) \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)$$V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{a^2}{2} \right) \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)$$V = \frac{\pi a^3 \sqrt{2}}{3 \cdot 2 \cdot 2}$$V = \frac{\pi a^3 \sqrt{2}}{12}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sqrt{2}}{12}$