Номер 287, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

287. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, находящееся на расстоянии 4 см от его оси. Диагональ полученного сечения равна 10 см. Найдите объём цилиндра, если радиус его основания равен 5 см.

287. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, находящееся на расстоянии 4 см от его оси. Диагональ полученного сечения равна 10 см. Найдите объём цилиндра, если радиус его основания равен 5 см.

Для нахождения объёма цилиндра $V$ используется формула $V = \pi R^2 H$, где $R$ - радиус основания, а $H$ - высота цилиндра. Радиус основания нам известен из условия, $R = 5$ см. Нам необходимо найти высоту $H$.

Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника является хордой $a$ в основании цилиндра, а другая сторона равна высоте цилиндра $H$.

1. Нахождение ширины сечения (хорды $a$)

Рассмотрим основание цилиндра. Расстояние от центра основания (оси цилиндра) до хорды $a$ равно $d = 4$ см. Радиус основания $R = 5$ см. Радиус, проведенный к концу хорды, расстояние от центра до хорды и половина хорды $(\frac{a}{2})$ образуют прямоугольный треугольник, в котором радиус является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известные значения:

$5^2 = 4^2 + (\frac{a}{2})^2$

$25 = 16 + (\frac{a}{2})^2$

$(\frac{a}{2})^2 = 25 - 16 = 9$

$\frac{a}{2} = \sqrt{9} = 3$ см

Следовательно, длина хорды (ширина сечения) равна $a = 2 \cdot 3 = 6$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра $H$

Найденная ширина сечения $a = 6$ см и высота цилиндра $H$ являются сторонами прямоугольного сечения. Диагональ этого прямоугольника дана в условии и равна $D = 10$ см. Для прямоугольника справедливо соотношение по теореме Пифагора:

$D^2 = a^2 + H^2$

Подставим известные значения:

$10^2 = 6^2 + H^2$

$100 = 36 + H^2$

$H^2 = 100 - 36 = 64$

$H = \sqrt{64} = 8$ см

Таким образом, высота цилиндра равна 8 см.

3. Вычисление объёма цилиндра

Теперь, зная радиус основания $R=5$ см и высоту $H=8$ см, мы можем вычислить объём цилиндра:

$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 5^2 \cdot 8 = \pi \cdot 25 \cdot 8 = 200\pi$ см³.

Ответ: $200\pi$ см³.