Номер 280, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

280. Основания усечённой пирамиды — равнобедренные треугольники со сторонами 5 см, 5 см, 6 см и 10 см, 10 см, 12 см соответственно. Каждое боковое ребро усечённой пирамиды образует с плоскостью большего основания угол $45^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

280. Основания усечённой пирамиды — равнобедренные треугольники со сторонами 5 см, 5 см, 6 см и 10 см, 10 см, 12 см соответственно. Каждое боковое ребро усечённой пирамиды образует с плоскостью большего основания угол $45^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды используется формула:

$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $H$ – высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ – площади её большего и меньшего оснований соответственно.

1. Найдём площади оснований $S_1$ и $S_2$.

Оба основания являются равнобедренными треугольниками. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ – основание, $h$ – высота.

Для большего основания со сторонами 10 см, 10 см и 12 см:

Найдём высоту $h_1$, проведённую к стороне 12 см. По теореме Пифагора:

$h_1 = \sqrt{10^2 - (12/2)^2} = \sqrt{100 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Площадь большего основания:

$S_1 = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48$ см².

Для меньшего основания со сторонами 5 см, 5 см и 6 см:

Найдём высоту $h_2$, проведённую к стороне 6 см:

$h_2 = \sqrt{5^2 - (6/2)^2} = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Площадь меньшего основания:

$S_2 = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ см².

2. Найдём высоту усечённой пирамиды $H$.

По условию, каждое боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол $45^{\circ}$. Это свойство означает, что вершина полной пирамиды (из которой была получена усечённая) проектируется в центр описанной окружности основания. Следовательно, высота усечённой пирамиды $H$ соединяет центры описанных окружностей её оснований.

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через боковое ребро и центры описанных окружностей. В этом сечении высота $H$ и разность радиусов описанных окружностей оснований ($R_1 - R_2$) образуют катеты прямоугольного треугольника. Боковое ребро является гипотенузой, а угол между ним и катетом ($R_1 - R_2$) равен $45^{\circ}$. В таком прямоугольном треугольнике катеты равны, поэтому:

$H = R_1 - R_2$

Найдём радиусы описанных окружностей по формуле $R = \frac{abc}{4S}$:

Радиус для большего основания:

$R_1 = \frac{10 \times 10 \times 12}{4 \times S_1} = \frac{1200}{4 \times 48} = \frac{1200}{192} = \frac{25}{4}$ см.

Радиус для меньшего основания:

$R_2 = \frac{5 \times 5 \times 6}{4 \times S_2} = \frac{150}{4 \times 12} = \frac{150}{48} = \frac{25}{8}$ см.

Теперь можем найти высоту $H$:

$H = R_1 - R_2 = \frac{25}{4} - \frac{25}{8} = \frac{50}{8} - \frac{25}{8} = \frac{25}{8}$ см.

3. Вычислим объём усечённой пирамиды.

Подставим найденные значения $S_1 = 48$, $S_2 = 12$ и $H = \frac{25}{8}$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \times \frac{25}{8} \times (48 + 12 + \sqrt{48 \times 12})$

$V = \frac{25}{24} \times (60 + \sqrt{576}) = \frac{25}{24} \times (60 + 24) = \frac{25}{24} \times 84$

Сократим дробь:

$V = \frac{25 \times 84}{24} = \frac{25 \times (12 \times 7)}{12 \times 2} = \frac{25 \times 7}{2} = \frac{175}{2} = 87.5$ см³.

Ответ: $87.5$ см³.