Номер 274, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

274. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему углом $\beta$. Боковая грань пирамиды, содержащая сторону основания, противолежащую данному углу, перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани образуют с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

274. Основанием пирамиды является прямоугольный тре- угольник с катетом $a$ и прилежащим к нему углом $\beta$. Боковая грань пирамиды, содержащая сторону осно- вания, противолежащую данному углу, перпендику- лярна плоскости основания, а две другие грани обра- зуют с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Пусть основанием пирамиды $SABC$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Согласно условию, один из катетов равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $\beta$. Пусть катет $AC = a$, тогда $\angle CAB = \beta$.

Найдем второй катет $BC$ и площадь основания $S_{осн}$. Из прямоугольного треугольника $ABC$ имеем: $BC = AC \cdot \tan(\angle CAB) = a \tan(\beta)$. Площадь основания: $S_{осн} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} a \cdot (a \tan(\beta)) = \frac{1}{2} a^2 \tan(\beta)$.

В условии сказано, что боковая грань, содержащая сторону основания, противолежащую углу $\beta$ (то есть катет $BC$), перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что плоскость $(SBC)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Следовательно, высота пирамиды $H$, опущенная из вершины $S$, лежит в плоскости $(SBC)$, и ее основание, точка $O$, находится на прямой $BC$. Таким образом, $H = SO$.

Две другие боковые грани, $(SAC)$ и $(SAB)$, образуют с плоскостью основания угол $\alpha$. Угол между плоскостью грани $(SAC)$ и плоскостью основания $(ABC)$ - это двугранный угол при ребре $AC$. Поскольку $O$ лежит на $BC$ и $\angle C = 90^\circ$, отрезок $OC$ перпендикулярен ребру $AC$. Высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и прямой $OC$. Наклонная $SC$ соединяет точки $S$ и $C$. Таким образом, $\angle SCO$ является линейным углом данного двугранного угла, и $\angle SCO = \alpha$. Из прямоугольного треугольника $SOC$ находим высоту: $H = SO = OC \cdot \tan(\alpha)$.

Аналогично, угол между плоскостью грани $(SAB)$ и плоскостью основания $(ABC)$ - это двугранный угол при ребре $AB$. Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OK$ на ребро $AB$. По теореме о трех перпендикулярах, наклонная $SK$ также будет перпендикулярна $AB$. Следовательно, $\angle SKO$ является линейным углом этого двугранного угла, и $\angle SKO = \alpha$. Из прямоугольного треугольника $SOK$ находим высоту: $H = SO = OK \cdot \tan(\alpha)$.

Из равенства двух выражений для высоты $H$ следует, что $OC \cdot \tan(\alpha) = OK \cdot \tan(\alpha)$, откуда $OC = OK$. Это означает, что точка $O$ на катете $BC$ равноудалена от сторон угла $\angle CAB$ (прямых $AC$ и $AB$). Следовательно, точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A$.

Найдем длину отрезка $OC$. В треугольнике $ABC$ отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$. По свойству биссектрисы, $\frac{CO}{OB} = \frac{AC}{AB}$. Гипотенуза $AB = \frac{AC}{\cos(\beta)} = \frac{a}{\cos(\beta)}$. Подставляя известные значения, получаем: $\frac{CO}{OB} = \frac{a}{a/\cos(\beta)} = \cos(\beta)$. Так как $O$ лежит на $BC$, то $OB = BC - CO = a \tan(\beta) - CO$. Подставим это в пропорцию: $CO = (a \tan(\beta) - CO)\cos(\beta)$. $CO = a \tan(\beta)\cos(\beta) - CO\cos(\beta) = a\sin(\beta) - CO\cos(\beta)$. $CO(1 + \cos(\beta)) = a\sin(\beta)$. $CO = \frac{a\sin(\beta)}{1 + \cos(\beta)}$. Применим формулы половинного угла: $\sin(\beta) = 2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})$ и $1+\cos(\beta) = 2\cos^2(\frac{\beta}{2})$. $CO = \frac{a \cdot 2\sin(\frac{\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})}{2\cos^2(\frac{\beta}{2})} = a \tan(\frac{\beta}{2})$.

Теперь мы можем найти высоту пирамиды: $H = OC \cdot \tan(\alpha) = a \tan(\frac{\beta}{2})\tan(\alpha)$.

Наконец, вычислим объем пирамиды по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$: $V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} a^2 \tan(\beta)\right) \cdot \left(a \tan(\frac{\beta}{2})\tan(\alpha)\right) = \frac{a^3}{6} \tan(\alpha) \tan(\beta) \tan(\frac{\beta}{2})$.

Ответ: $V = \frac{a^3}{6} \tan\alpha \tan\beta \tan\frac{\beta}{2}$.