Номер 269, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

269. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция. Точка касания окружности, вписанной в эту трапецию, и её боковой стороны делит эту сторону на отрезки длиной 4 см и 9 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

269. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция. Точка касания окружности, вписанной в эту трапецию, и её боковой стороны делит эту сторону на отрезки длиной 4 см и 9 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$,

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания (равнобокой трапеции).

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. Боковая сторона $AB = CD$. Точка касания $K$ делит боковую сторону $AB$ на отрезки $AK = 9$ см и $KB = 4$ см. Тогда длина боковой стороны равна:

$c = AB = AK + KB = 9 + 4 = 13$ см.

Так как в трапецию вписана окружность, суммы ее противолежащих сторон равны. Обозначим основания как $a$ и $b$:

$a + b = c + c = 13 + 13 = 26$ см.

Высоту трапеции $h_{тр}$ можно найти, проведя высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $AH$ равен полуразности оснований:

$AH = \frac{a-b}{2}$.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки от вершины до точек касания равны. Поэтому половина меньшего основания равна отрезку, прилежащему к нему (4 см), а половина большего основания — другому отрезку (9 см).

Меньшее основание: $b = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Большее основание: $a = 9 \cdot 2 = 18$ см.

Проверим: $a+b = 18+8=26$ см. Верно.

Теперь найдем катет $AH$:

$AH = \frac{18-8}{2} = 5$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $ABH$ найдем высоту трапеции $h_{тр} = BH$:

$h_{тр} = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь можем вычислить площадь основания (трапеции):

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{тр} = \frac{26}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156$ $см^2$.

2. Найдем высоту пирамиды.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $45^\circ$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности. Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $S$ — вершина пирамиды. Тогда $SO = H$ — высота пирамиды.

Радиус вписанной в трапецию окружности $r$ равен половине высоты трапеции:

$r = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H=SO$, радиусом вписанной окружности $r$ (проведенным к точке касания, например, к стороне $BC$), и апофемой боковой грани (высотой боковой грани, проведенной из вершины $S$). Угол между апофемой и радиусом $r$ является линейным углом двугранного угла при основании и равен $45^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике катеты — это высота пирамиды $H$ и радиус $r$. Так как один из острых углов равен $45^\circ$, то треугольник равнобедренный, и его катеты равны:

$H = r = 6$ см.

3. Найдем объем пирамиды.

Теперь у нас есть все данные для вычисления объема:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 156 \cdot 6 = 156 \cdot 2 = 312$ $см^3$.

Ответ: 312 $см^3$.