Номер 270, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

270. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и основанием 16 см. Боковые грани пирамиды, содержащие боковые стороны её основания, перпендикулярны плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом 30°. Найдите объём пирамиды.

270. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и основанием 16 см. Боковые грани пирамиды, содержащие боковые стороны её основания, перпендикулярны плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом 30°. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = BC = 10$ см — боковые стороны, а $AC = 16$ см — основание.

1. Найдем площадь основания пирамиды.

Для нахождения площади треугольника $ABC$ проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, $H$ — середина $AC$, и $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$:
$BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь вычислим площадь основания $S_{осн}$:
$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 48$ см².

2. Найдем высоту пирамиды.

По условию, боковые грани $SAB$ и $SBC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости, пересекающиеся по прямой, перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $SAB$ и $SBC$ является боковое ребро $SB$. Таким образом, ребро $SB$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, и его длина является высотой пирамиды $H$. То есть, $H = SB$.

Третья грань $SAC$ наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Угол между плоскостями $(SAC)$ и $(ABC)$ — это двугранный угол при ребре $AC$. Для его измерения построим линейный угол. У нас уже есть перпендикуляр $BH$ к ребру $AC$ в плоскости основания. Соединим точки $S$ и $H$. Так как $SB$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $BH$ — проекция наклонной $SH$ на эту плоскость, и $BH \perp AC$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $SH$ также перпендикулярна $AC$ ($SH \perp AC$).

Следовательно, угол $\angle SHB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(SAC)$ и $(ABC)$, и по условию $\angle SHB = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SBH$ (угол $\angle SBH = 90^\circ$, так как $SB \perp (ABC)$). В этом треугольнике катет $BH = 6$ см, а катет $SB = H$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:
$\text{tg}(\angle SHB) = \frac{SB}{BH}$
$\text{tg}(30^\circ) = \frac{H}{6}$

Отсюда находим высоту пирамиды $H$:
$H = 6 \cdot \text{tg}(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Найдем объем пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

Подставим найденные значения площади основания и высоты:
$V = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 2\sqrt{3} = 16 \cdot 2\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $32\sqrt{3}$ см³.