Номер 276, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

276. Сторона меньшего основания правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а боковое ребро равно 6 см и образует с плоскостью большего основания угол $45^{\circ}$. Найдите объём усечённой пирамиды.

276. Сторона меньшего основания правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а боковое ребро равно 6 см и образует с плоскостью большего основания угол $45^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$,
где $H$ – высота пирамиды, $S_1$ и $S_2$ – площади большего и меньшего оснований.

В основании правильной усечённой четырёхугольной пирамиды лежат квадраты. Сторона меньшего основания $a_2 = 4$ см, поэтому его площадь $S_2 = a_2^2 = 4^2 = 16$ см².

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром ($l$), его проекцией на плоскость большего основания ($p$) и высотой усечённой пирамиды ($H$). Боковое ребро является гипотенузой, а угол между ним и его проекцией, по условию, равен $\alpha = 45^\circ$.
Высота пирамиды $H$ является катетом, противолежащим этому углу:
$H = l \cdot \sin(\alpha) = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Проекция бокового ребра $p$ является вторым катетом этого треугольника:
$p = l \cdot \cos(\alpha) = 6 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Для правильной усечённой пирамиды проекция бокового ребра на плоскость основания равна разности расстояний от центра основания до вершин (то есть разности радиусов описанных окружностей), что эквивалентно разности полудиагоналей оснований.
Пусть $a_1$ — сторона большего основания. Диагонали оснований равны $d_1 = a_1\sqrt{2}$ и $d_2 = a_2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Тогда $p = \frac{d_1}{2} - \frac{d_2}{2} = \frac{a_1\sqrt{2}}{2} - \frac{4\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(a_1 - 4)$.

Приравняем полученные значения для $p$:
$3\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(a_1 - 4)$.
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:
$3 = \frac{1}{2}(a_1 - 4)$.
$6 = a_1 - 4$.
Отсюда находим сторону большего основания: $a_1 = 10$ см.

Площадь большего основания $S_1 = a_1^2 = 10^2 = 100$ см².

Теперь мы можем вычислить объём усечённой пирамиды, подставив все найденные значения в формулу:
$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{2} \cdot (100 + 16 + \sqrt{100 \cdot 16})$.
$V = \sqrt{2} \cdot (116 + \sqrt{1600}) = \sqrt{2} \cdot (116 + 40) = \sqrt{2} \cdot 156$.
$V = 156\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $156\sqrt{2}$ см³.