Номер 277, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

277. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 8 см и 10 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $45^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

277. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 8 см и 10 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $45^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

Найдём площади оснований

Так как пирамида правильная четырёхугольная, её основаниями являются квадраты.
Сторона большего основания $a_1 = 10$ см.
Сторона меньшего основания $a_2 = 8$ см.
Площадь большего основания: $S_1 = a_1^2 = 10^2 = 100$ см².
Площадь меньшего основания: $S_2 = a_2^2 = 8^2 = 64$ см².

Найдём высоту усечённой пирамиды

Чтобы найти высоту $h$, рассмотрим осевое сечение пирамиды, перпендикулярное одной из сторон основания. Такое сечение является равнобокой трапецией.
Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры меньшего и большего оснований соответственно, тогда $h = O_1O_2$.
Пусть $M_1$ и $M_2$ — середины соответствующих сторон меньшего и большего оснований. Тогда $O_1M_1$ и $O_2M_2$ — апофемы оснований.
$O_2M_2 = \frac{a_1}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
$O_1M_1 = \frac{a_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
Проведём из точки $M_1$ высоту $M_1K$ на отрезок $O_2M_2$. Получим прямоугольный треугольник $M_1KM_2$.
Высота $M_1K$ равна высоте усечённой пирамиды $h$.
Катет $KM_2$ равен разности апофем оснований:
$KM_2 = O_2M_2 - O_2K = O_2M_2 - O_1M_1 = 5 - 4 = 1$ см.
Двугранный угол при ребре большего основания — это угол между боковой гранью и плоскостью большего основания. В нашем сечении это угол $\angle M_1M_2K$, который по условию равен $45^\circ$.
Из прямоугольного треугольника $M_1KM_2$ найдём высоту $h = M_1K$:

$\tan(\angle M_1M_2K) = \frac{M_1K}{KM_2} = \frac{h}{KM_2}$

$h = KM_2 \cdot \tan(45^\circ) = 1 \cdot 1 = 1$ см.

Вычислим объём усечённой пирамиды

Теперь подставим все найденные значения в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (100 + 64 + \sqrt{100 \cdot 64})$

$V = \frac{1}{3} (164 + \sqrt{6400})$

$V = \frac{1}{3} (164 + 80)$

$V = \frac{1}{3} \cdot 244$

$V = \frac{244}{3}$ см³ или $81\frac{1}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{244}{3}$ см³.