Номер 271, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

271. Грани $DAB$ и $DBC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите объём пирамиды, если $AB = 20$ см, $AC = 21$ см, $BC = 13$ см, а расстояние от вершины $D$ до прямой $AC$ равно $20$ см.

271. Грани DAB и DBC пирамиды DABC перпендикулярны плоскости основания. Найдите объём пирамиды, если $AB = 20$ см, $AC = 21$ см, $BC = 13$ см, а расстояние от вершины D до прямой AC равно 20 см.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для решения задачи необходимо найти площадь основания $S_{ABC}$ и высоту пирамиды $H$.

По условию, грани $(DAB)$ и $(DBC)$ перпендикулярны плоскости основания $(ABC)$. Если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $(DAB)$ и $(DBC)$ является ребро $DB$. Следовательно, ребро $DB$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, и $DB$ является высотой пирамиды. Таким образом, $H = DB$.

1. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 20$ см, $AC = 21$ см и $BC = 13$ см. Поскольку известны все три стороны треугольника, его площадь удобно вычислить по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{20 + 21 + 13}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь вычислим площадь основания $S_{ABC}$:

$S_{ABC} = \sqrt{27(27-20)(27-21)(27-13)} = \sqrt{27 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 14} = \sqrt{(3 \cdot 9) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7)} = \sqrt{9^2 \cdot 2^2 \cdot 7^2} = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 126$ см$^2$.

2. Нахождение высоты пирамиды

Расстояние от вершины $D$ до прямой $AC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $AC$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $K$. Тогда $DK = 20$ см и $DK \perp AC$.

Рассмотрим ребро $DB$ (высота пирамиды), наклонную $DK$ и её проекцию $BK$ на плоскость основания $(ABC)$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($DK$) перпендикулярна прямой на плоскости ($AC$), то и её проекция ($BK$) на эту плоскость также перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $BK \perp AC$, и $BK$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AC$.

Площадь треугольника $ABC$ можно также выразить через высоту $BK$ и основание $AC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BK$.

Из этого выражения найдем длину высоты $BK$:

$126 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot BK \implies BK = \frac{126 \cdot 2}{21} = \frac{252}{21} = 12$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DBK$. Угол $\angle DBK = 90^{\circ}$, поскольку высота пирамиды $DB$ перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, включая $BK$. По теореме Пифагора:

$DK^2 = DB^2 + BK^2$.

Отсюда найдем высоту пирамиды $H = DB$:

$DB^2 = DK^2 - BK^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$.

$DB = \sqrt{256} = 16$ см.

3. Нахождение объёма пирамиды

Зная площадь основания $S_{ABC} = 126$ см$^2$ и высоту $H = 16$ см, мы можем вычислить объём пирамиды $DABC$:

$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 126 \cdot 16 = 42 \cdot 16 = 672$ см$^3$.

Ответ: $672$ см$^3$.