Номер 267, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

267. Основанием пирамиды является треугольник, две стороны которого равны $8 \text{ см}$ и $3 \text{ см}$, а угол между ними — $60^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите объём пирамиды.

267. Основанием пирамиды является треугольник, две стороны которого равны 8 см и 3 см, а угол между ними — $60^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами $a = 8$ см, $b = 3$ см и углом между ними $\gamma = 60^{\circ}$. Площадь такого треугольника вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$

Подставим известные значения:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 \cdot \sin(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см².

Нахождение высоты пирамиды ($H$)

Так как все двугранные углы при ребрах основания равны ($ \alpha = 30^{\circ} $), вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр). Высота пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности $r$ связаны соотношением:

$H = r \cdot \tan(\alpha)$

Для нахождения радиуса $r$ воспользуемся формулой $r = \frac{S_{осн}}{p}$, где $p$ — полупериметр треугольника основания. Сначала найдем третью сторону основания $c$ по теореме косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

$c^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos(60^{\circ}) = 64 + 9 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49$

$c = \sqrt{49} = 7$ см.

Теперь вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+3+7}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{6\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь можем найти высоту пирамиды $H$:

$H = r \cdot \tan(30^{\circ}) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3}$ см.

Нахождение объема пирамиды ($V$)

Подставим найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12\sqrt{3}}{9} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ см³.