Номер 264, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

264. В параллелепипеде $ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ проведено сечение через прямую $BD$ и точку $A_1$ (рис. 18). Найдите объём параллелепипеда, если объём пирамиды $A_1ABD$ равен $V$.

Рис. 18

264. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведено сечение через прямую $BD$ и точку $A_1$ (рис. 18). Найдите объём параллелепипеда, если объём пирамиды $A_1ABD$ равен $V$.

Рис. 18

Пусть объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $V_{пар}$. Объём параллелепипеда находится по формуле: $V_{пар} = S_{ABCD} \cdot H$, где $S_{ABCD}$ — площадь основания (параллелограмма $ABCD$), а $H$ — высота параллелепипеда.

По условию, объём пирамиды $A_1ABD$ равен $V$. Объём пирамиды находится по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{ABD} \cdot h$, где $S_{ABD}$ — площадь основания пирамиды (треугольника $ABD$), а $h$ — высота пирамиды, опущенная из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$.

Высота пирамиды $h$ совпадает с высотой параллелепипеда $H$, так как её вершина $A_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$, а её основание $ABD$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCD$. Таким образом, $h = H$.

Основание параллелепипеда $ABCD$ является параллелограммом. Диагональ $BD$ делит этот параллелограмм на два равных по площади треугольника, $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$. Отсюда следует, что площадь основания параллелепипеда в два раза больше площади основания пирамиды: $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABD}$.

Теперь установим связь между объёмом параллелепипеда и объёмом пирамиды. Выразим объём параллелепипеда через площадь $S_{ABD}$ и высоту $H$: $V_{пар} = S_{ABCD} \cdot H = (2 \cdot S_{ABD}) \cdot H = 2 \cdot (S_{ABD} \cdot H)$.

Из формулы для объёма пирамиды $V = \frac{1}{3} S_{ABD} \cdot H$ выразим произведение $S_{ABD} \cdot H$: $S_{ABD} \cdot H = 3V$.

Подставим полученное выражение в формулу для объёма параллелепипеда: $V_{пар} = 2 \cdot (3V) = 6V$.

Ответ: $6V$.