Номер 266, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

266. Основанием пирамиды является прямоугольник, одна из сторон которого равна $a$ и образует с его диагональю угол $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

266. Основанием пирамиды является прямоугольник, одна из сторон которого равна $a$ и образует с его диагональю угол $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Сначала найдём площадь основания. Основание пирамиды — прямоугольник. Пусть одна его сторона равна $a$, а смежная ей сторона — $b$. Диагональ прямоугольника $d$ образует со стороной $a$ угол $\alpha$. Из прямоугольного треугольника, образованного сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$, имеем: $\tan(\alpha) = \frac{b}{a}$. Отсюда вторая сторона прямоугольника $b = a \tan(\alpha)$.

Площадь основания $S_{осн}$ равна произведению сторон прямоугольника:

$S_{осн} = a \cdot b = a \cdot (a \tan(\alpha)) = a^2 \tan(\alpha)$.

Теперь найдём высоту пирамиды $H$. По условию, каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $\beta$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения его диагоналей, обозначим её O. Пусть S — вершина пирамиды, тогда её высота $H = SO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и половиной диагонали основания. Угол между боковым ребром и его проекцией на основание (половиной диагонали) равен $\beta$. Длина половины диагонали равна радиусу описанной окружности $R$. Тогда $H = R \tan(\beta)$.

Найдём радиус описанной окружности $R$, который равен половине диагонали $d$. Из того же прямоугольного треугольника в основании: $\cos(\alpha) = \frac{a}{d}$, откуда $d = \frac{a}{\cos(\alpha)}$.

Следовательно, $R = \frac{d}{2} = \frac{a}{2\cos(\alpha)}$.

Теперь можем найти высоту пирамиды:

$H = R \tan(\beta) = \frac{a}{2\cos(\alpha)} \cdot \tan(\beta) = \frac{a \tan(\beta)}{2\cos(\alpha)}$.

Наконец, вычислим объём пирамиды, подставив найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} (a^2 \tan(\alpha)) \left( \frac{a \tan(\beta)}{2\cos(\alpha)} \right) = \frac{a^3 \tan(\alpha) \tan(\beta)}{6\cos(\alpha)}$.

Ответ: $V = \frac{a^3 \tan(\alpha) \tan(\beta)}{6\cos(\alpha)}$