Номер 268, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

268. Основанием пирамиды является ромб с углом $\alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\varphi$. Найдите объём пирамиды, если её высота равна $H$.

268. Основанием пирамиды является ромб с углом $\alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\phi$. Найдите объём пирамиды, если её высота равна $H$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Основанием пирамиды является ромб с углом $\alpha$. Поскольку все двугранные углы при ребрах основания равны $\phi$, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Для ромба центром вписанной окружности является точка пересечения его диагоналей. Обозначим радиус этой окружности как $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ и апофемой боковой грани (высотой боковой грани, проведенной из вершины пирамиды к стороне основания). Катетами этого треугольника являются $H$ и $r$. Угол между апофемой и радиусом $r$ (проекцией апофемы на основание) является линейным углом двугранного угла при ребре основания и равен $\phi$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике можем выразить радиус $r$:

$\cot(\phi) = \frac{r}{H}$

Отсюда находим радиус вписанной окружности:

$r = H \cot(\phi)$

Далее найдем площадь основания. Высота ромба $h_{ромба}$ связана с радиусом вписанной в него окружности соотношением $h_{ромба} = 2r$.

Следовательно, $h_{ромба} = 2H \cot(\phi)$.

С другой стороны, высоту ромба можно выразить через его сторону $a$ и угол $\alpha$: $h_{ромба} = a \sin(\alpha)$.

Приравнивая два выражения для высоты ромба, найдем его сторону $a$:

$a \sin(\alpha) = 2H \cot(\phi)$

$a = \frac{2H \cot(\phi)}{\sin(\alpha)}$

Площадь ромба $S_{осн}$ вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2 \sin(\alpha)$. Подставим найденное выражение для стороны $a$:

$S_{осн} = \left(\frac{2H \cot(\phi)}{\sin(\alpha)}\right)^2 \sin(\alpha) = \frac{4H^2 \cot^2(\phi)}{\sin^2(\alpha)} \sin(\alpha) = \frac{4H^2 \cot^2(\phi)}{\sin(\alpha)}$

Теперь, зная площадь основания и высоту пирамиды, можем найти ее объем:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{4H^2 \cot^2(\phi)}{\sin(\alpha)} \cdot H = \frac{4H^3 \cot^2(\phi)}{3\sin(\alpha)}$

Ответ: $V = \frac{4H^3 \cot^2(\phi)}{3\sin(\alpha)}$