Номер 265, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

265. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной 8 см и углом 120°. Каждое боковое ребро пирамиды равно 17 см. Найдите объём пирамиды.

265. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной 8 см и углом 120°. Каждое боковое ребро пирамиды равно 17 см. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания пирамиды, а $H$ — ее высота. Решение задачи можно разбить на несколько этапов.

1. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $a = 8$ см и углом между ними $\gamma = 120^\circ$. Площадь треугольника находим по формуле:

$S_{осн} = \frac{1}{2} a^2 \sin(\gamma)$

Подставляем известные значения:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}$ см².

2. Нахождение высоты пирамиды

По условию, все боковые ребра пирамиды равны ($l = 17$ см). Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника в основании. Радиус этой окружности $R$, высота пирамиды $H$ и боковое ребро $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. Таким образом, по теореме Пифагора: $H^2 + R^2 = l^2$.

Чтобы найти высоту $H$, сначала необходимо вычислить радиус $R$. Для этого найдем длину третьей стороны основания ($c$) по теореме косинусов:

$c^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\gamma) = 2a^2(1 - \cos(\gamma))$

$c^2 = 2 \cdot 8^2 \cdot (1 - \cos(120^\circ)) = 2 \cdot 64 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})) = 128 \cdot \frac{3}{2} = 192$

$c = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Радиус описанной окружности можно найти по формуле $R = \frac{c}{2\sin(\gamma)}$ (следствие из теоремы синусов):

$R = \frac{8\sqrt{3}}{2\sin(120^\circ)} = \frac{8\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$ см.

Теперь находим высоту пирамиды $H$ из соотношения $H = \sqrt{l^2 - R^2}$:

$H = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{(17-8)(17+8)} = \sqrt{9 \cdot 25} = 3 \cdot 5 = 15$ см.

3. Вычисление объема пирамиды

Теперь, зная площадь основания и высоту, вычисляем объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 15 = 16\sqrt{3} \cdot 5 = 80\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $80\sqrt{3}$ см³.