Номер 261, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

261. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а двугранный угол пирамиды при боковом ребре — $120^\circ$. Найдите объём пирамиды.

261. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а двугранный угол пирамиды при боковом ребре — $120^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания.

Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Сторона основания $a = 6$ см. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Подставим значение стороны:$S_{осн} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

2. Найдём высоту пирамиды.

Пусть $SABC$ — данная правильная треугольная пирамида с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Двугранный угол при боковом ребре, например $SA$, равен $120^\circ$. Этот угол является углом между плоскостями боковых граней $(SAB)$ и $(SAC)$.

Для нахождения линейного угла этого двугранного угла проведём в гранях $(SAB)$ и $(SAC)$ перпендикуляры к общему ребру $SA$. Проведём высоту $BK$ в треугольнике $SAB$ к стороне $SA$ (т.е. $BK \perp SA$). Так как пирамида правильная, её боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Следовательно, высота $CK$ в треугольнике $SAC$ к стороне $SA$ также будет опущена в ту же точку $K$ (т.е. $CK \perp SA$).

Таким образом, угол $\angle BKC$ является линейным углом двугранного угла при ребре $SA$, и по условию $\angle BKC = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BKC$. Он равнобедренный, так как $BK = CK$ (высоты в равных треугольниках). Основание этого треугольника $BC = a = 6$ см.

По теореме косинусов для треугольника $BKC$:$BC^2 = BK^2 + CK^2 - 2 \cdot BK \cdot CK \cdot \cos(\angle BKC)$
Пусть $BK = CK = x$.
$6^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos(120^\circ)$
$36 = 2x^2 - 2x^2 \cdot (-\frac{1}{2})$
$36 = 2x^2 + x^2$
$36 = 3x^2$
$x^2 = 12$
$x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.
Итак, $BK = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим боковую грань — треугольник $SAB$. Это равнобедренный треугольник с основанием $AB = 6$. Мы нашли длину высоты $BK = 2\sqrt{3}$, опущенной на боковую сторону $SA$. Пусть боковое ребро $SA = l$.
В прямоугольном треугольнике $AKB$ (где $K$ — основание высоты $BK$ на $SA$), по теореме Пифагора $AB^2 = AK^2 + BK^2$.
$6^2 = AK^2 + (2\sqrt{3})^2$
$36 = AK^2 + 12$
$AK = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ см.
В треугольнике $SAB$ $\cos(\angle SAB) = \frac{AK}{AB} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Пусть $M$ — середина $AB$. В прямоугольном треугольнике $SAM$ катет $AM = \frac{AB}{2} = 3$.
$\cos(\angle SAB) = \frac{AM}{SA} = \frac{3}{l}$.
Приравнивая два выражения для косинуса, получаем:
$\frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{3}{l}$
$l = \frac{9}{\sqrt{6}} = \frac{9\sqrt{6}}{6} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$ см.
Квадрат бокового ребра: $l^2 = (\frac{3\sqrt{6}}{2})^2 = \frac{9 \cdot 6}{4} = \frac{54}{4} = \frac{27}{2}$.

Найдём высоту пирамиды $H = SO$, где $O$ — центр основания $ABC$. $AO$ — это радиус $R$ описанной около основания окружности. Для равностороннего треугольника $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$R = AO = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Катеты — $SO=H$ и $AO=R$, гипотенуза — $SA=l$.
По теореме Пифагора: $SA^2 = SO^2 + AO^2$, то есть $l^2 = H^2 + R^2$.
$H^2 = l^2 - R^2$
$H^2 = \frac{27}{2} - (2\sqrt{3})^2 = \frac{27}{2} - 12 = \frac{27 - 24}{2} = \frac{3}{2}$
$H = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

3. Вычислим объём пирамиды.

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}$
$V = 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{3\sqrt{18}}{2} = \frac{3\sqrt{9 \cdot 2}}{2} = \frac{3 \cdot 3\sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см³.

Ответ: $V = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см³.