Номер 258, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

258. Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $d$, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

258. Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $d$, а боковая грань образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$)

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Площадь квадрата можно выразить через его диагональ $d$ по формуле:

$S_{осн} = \frac{1}{2}d^2$

2. Найдем высоту пирамиды ($H$)

Угол $\alpha$ между боковой гранью и плоскостью основания — это двугранный угол. Для его построения проведем апофему (высоту боковой грани) $SM$ к стороне основания $CD$. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей). Тогда отрезок $OM$ будет проекцией апофемы $SM$ на плоскость основания. Так как пирамида правильная, $OM \perp CD$. Таким образом, угол между апофемой $SM$ и ее проекцией $OM$ и есть данный линейный угол двугранного угла, то есть $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (где $\angle SOM = 90^\circ$). Высота пирамиды $H = SO$ является катетом этого треугольника.

Катет $OM$ равен половине стороны основания. Найдем сторону основания $a$ через диагональ $d$. Для квадрата $d = a\sqrt{2}$, откуда $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$.

Следовательно, $OM = \frac{a}{2} = \frac{d}{2\sqrt{2}}$.

Из треугольника $SOM$ найдем высоту $H$ через тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{OM}$

$H = OM \cdot \tan(\alpha) = \frac{d}{2\sqrt{2}} \tan(\alpha)$

3. Вычислим объем пирамиды ($V$)

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{d^2}{2} \cdot \frac{d \tan(\alpha)}{2\sqrt{2}} = \frac{d^3 \tan(\alpha)}{12\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$V = \frac{d^3 \tan(\alpha) \cdot \sqrt{2}}{12\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} d^3 \tan(\alpha)}{12 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2} d^3 \tan(\alpha)}{24}$

Ответ: $V = \frac{\sqrt{2} d^3 \tan(\alpha)}{24}$.