Номер 251, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

251. Основанием наклонной призмы является квадрат со стороной 3 см. Боковое ребро призмы равно 4 см и образует с каждой из сторон основания, которую оно пересекает, угол $60^\circ$. Найдите объём призмы.

251. Основанием наклонной призмы является квадрат со стороной 3 см. Боковое ребро призмы равно 4 см и образует с каждой из сторон основания, которую оно пересекает, угол $60^\circ$. Найдите объём призмы.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{base} \cdot H$, где $S_{base}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания.

Основанием призмы является квадрат со стороной $a = 3$ см. Площадь квадрата равна:

$S_{base} = a^2 = 3^2 = 9$ см².

2. Найдём высоту призмы.

Высота наклонной призмы $H$ — это длина перпендикуляра, опущенного из любой вершины верхнего основания на плоскость нижнего основания. Длина бокового ребра $L = 4$ см.

Рассмотрим вершину основания. Из неё выходят две перпендикулярные стороны основания и боковое ребро. Введём систему координат так, чтобы эта вершина была в начале координат (0,0,0), а стороны основания лежали на осях Ox и Oy. Тогда плоскость основания совпадает с плоскостью Oxy.

По условию, боковое ребро образует угол $60^\circ$ с каждой из этих сторон. Это означает, что вектор бокового ребра $\vec{l}$ образует углы $\alpha = 60^\circ$ с осью Ox и $\beta = 60^\circ$ с осью Oy. Пусть $\gamma$ — угол, который боковое ребро образует с осью Oz, перпендикулярной основанию.

Сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице:

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$

Подставим известные значения:

$\cos^2(60^\circ) + \cos^2(60^\circ) + \cos^2\gamma = 1$

$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2\gamma = 1$

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2\gamma = 1$

$\frac{1}{2} + \cos^2\gamma = 1$

$\cos^2\gamma = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\cos\gamma = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Высота призмы $H$ — это проекция бокового ребра $L$ на ось Oz (направление, перпендикулярное основанию).

$H = L \cdot \cos\gamma = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

3. Найдём объём призмы.

Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объём:

$V = S_{base} \cdot H = 9 \cdot 2\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $18\sqrt{2}$ см³.