Номер 248, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

248. Основанием наклонной призмы является ромб, большая диагональ которого равна 8 см, а острый угол — $60^\circ$. Боковое ребро призмы равно 12 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

248. Основанием наклонной призмы является ромб, большая диагональ которого равна 8 см, а острый угол — $60^\circ$. Боковое ребро призмы равно 12 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.

Основание — ромб с острым углом $60°$ и большей диагональю $d_1 = 8$ см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, делятся в точке пересечения пополам и являются биссектрисами его углов. Таким образом, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с острыми углами $60°/2 = 30°$ и $(180°-60°)/2 = 60°$.

Катеты этих треугольников равны половинам диагоналей: $d_1/2$ и $d_2/2$. В прямоугольном треугольнике большей стороне (катету) противолежит больший угол. Следовательно, половина большей диагонали $d_1/2 = 8/2 = 4$ см лежит напротив угла $60°$, а половина меньшей диагонали $d_2/2$ — напротив угла $30°$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(30°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{d_2/2}{d_1/2} = \frac{d_2}{d_1}$

Зная, что $d_1 = 8$ см, находим меньшую диагональ $d_2$:

$d_2 = d_1 \cdot \tan(30°) = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{32}{\sqrt{3}} = \frac{32\sqrt{3}}{3}$ см².

2. Найдем высоту призмы.

Высота наклонной призмы $H$ связана с её боковым ребром $L$ и углом $\beta$, который ребро образует с плоскостью основания, следующим соотношением:

$H = L \cdot \sin(\beta)$

По условию задачи $L = 12$ см и $\beta = 30°$. Подставляем эти значения:

$H = 12 \cdot \sin(30°) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

3. Найдем объём призмы.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объёма:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{32\sqrt{3}}{3} \cdot 6 = 32\sqrt{3} \cdot 2 = 64\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $64\sqrt{3}$ см³.