Номер 241, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

241. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно $b$ и образует с большей диагональю призмы угол $\beta$. Найдите объём призмы.

241. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно $b$ и образует с большей диагональю призмы угол $\beta$. Найдите объём призмы.

Пусть дана правильная шестиугольная призма. В основании призмы лежит правильный шестиугольник, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Обозначим сторону основания как $a$.

Высота призмы $H$ равна ее боковому ребру, которое по условию равно $b$. Итак, $H = b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром призмы, большей диагональю основания и большей диагональю призмы. Пусть $AA_1$ - боковое ребро, $AD$ - большая диагональ нижнего основания, а $A_1D$ - большая диагональ призмы. Так как призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и диагонали $AD$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, треугольник $\triangle A_1AD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

В этом треугольнике катет $AA_1$ — это боковое ребро, $AA_1 = b$. Катет $AD$ — это большая диагональ основания. Гипотенуза $A_1D$ — большая диагональ призмы.

Угол $\beta$ по условию — это угол между боковым ребром ($AA_1$) и большей диагональю призмы ($A_1D$). В треугольнике $\triangle A_1AD$ это угол $\angle AA_1D$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle A_1AD$ найдем длину катета $AD$: $$ \tan(\beta) = \frac{AD}{AA_1} $$ Отсюда, $$ AD = AA_1 \cdot \tan(\beta) = b \cdot \tan(\beta) $$

Большая диагональ правильного шестиугольника ($d_{осн}$) связана с его стороной $a$ соотношением $d_{осн} = 2a$. В нашем случае $AD = 2a$. Таким образом, $$ 2a = b \tan(\beta) $$ $$ a = \frac{b \tan(\beta)}{2} $$

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $$ S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 $$ Подставим в эту формулу найденное выражение для $a$: $$ S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left( \frac{b \tan(\beta)}{2} \right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{b^2 \tan^2(\beta)}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{8} b^2 \tan^2(\beta) $$

Теперь, зная площадь основания и высоту ($H = b$), найдем объем призмы: $$ V = S_{осн} \cdot H = \left( \frac{3\sqrt{3}}{8} b^2 \tan^2(\beta) \right) \cdot b = \frac{3\sqrt{3}}{8} b^3 \tan^2(\beta) $$

Ответ: $V = \frac{3\sqrt{3}}{8} b^3 \tan^2(\beta)$