Страница 65 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

234. Объём куба равен $64 \text{ см}^3$. Найдите площадь его поверхности.

234. Объём куба равен $64 \text{ см}^3$. Найдите площадь его поверхности.

Для решения задачи необходимо сначала найти длину ребра куба, а затем, зная её, вычислить площадь его поверхности.

1. Нахождение длины ребра куба.
Объём куба ($V$) вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина ребра куба.
По условию задачи, объём куба равен 64 см³.
$a^3 = 64 \text{ см}^3$
Чтобы найти длину ребра $a$, необходимо извлечь кубический корень из 64.
$a = \sqrt[3]{64} = 4 \text{ см}$
Таким образом, длина ребра куба составляет 4 см.

2. Нахождение площади поверхности куба.
Площадь поверхности куба ($S$) состоит из площадей шести его граней. Каждая грань является квадратом со стороной $a$. Площадь одной грани равна $a^2$.
Формула для вычисления площади всей поверхности куба:
$S = 6a^2$
Подставим найденное значение $a = 4$ см в эту формулу:
$S = 6 \times (4 \text{ см})^2 = 6 \times 16 \text{ см}^2 = 96 \text{ см}^2$

Ответ: 96 см².

235. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с основанием 16 см и боковой стороной 17 см. Диагональ боковой грани призмы, содержащей основание этого треугольника, образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

235. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с основанием 16 см и боковой стороной 17 см. Диагональ боковой грани призмы, содержащей основание этого треугольника, образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. Решим задачу в несколько шагов.

1. Найдём площадь основания призмы
Основанием призмы является равнобедренный треугольник с основанием $a = 16$ см и боковыми сторонами $b = 17$ см.Для вычисления площади этого треугольника необходимо найти его высоту $h_{осн}$, проведенную к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $16 / 2 = 8$ см.Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h_{осн}$, половиной основания ($8$ см) и боковой стороной ($17$ см), которая является гипотенузой. По теореме Пифагора:$h_{осн}^2 + 8^2 = 17^2$$h_{осн}^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$$h_{осн} = \sqrt{225} = 15$ см.Теперь мы можем вычислить площадь основания:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120$ см².

2. Найдём высоту призмы
По условию, призма прямая. Это означает, что её боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, и высота призмы $H$ равна длине бокового ребра.Рассмотрим боковую грань, которая содержит основание треугольника ($a = 16$ см). Эта грань является прямоугольником со сторонами $16$ см и $H$.Диагональ этой боковой грани, её основание ($16$ см) и боковое ребро призмы ($H$) образуют прямоугольный треугольник.Угол между диагональю и плоскостью основания — это угол между самой диагональю и её проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали является сторона основания длиной $16$ см.Таким образом, в получившемся прямоугольном треугольнике катетами являются высота призмы $H$ и сторона основания $a=16$ см. Угол между гипотенузой (диагональю) и катетом $a$ равен $30^\circ$.Соотношение катетов в прямоугольном треугольнике определяется через тангенс угла:$\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{H}{a}$Отсюда выразим высоту $H$:$H = a \cdot \tan(30^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см.

3. Найдём объём призмы
Используя найденные значения площади основания и высоты, вычислим объём призмы:$V = S_{осн} \cdot H = 120 \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3}$$V = \frac{120}{3} \cdot 16\sqrt{3} = 40 \cdot 16\sqrt{3} = 640\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $640\sqrt{3}$ см³.

236. Диагональное сечение правильной четырёхугольной призмы — квадрат, площадь которого равна $16 \text{ см}^2$. Найдите объём призмы.

236. Диагональное сечение правильной четырёхугольной призмы — квадрат, площадь которого равна $16 \\text{ см}^2$. Найдите объём призмы.

Поскольку призма правильная четырёхугольная, в её основании лежит квадрат, а боковые рёбра перпендикулярны основанию.

Диагональное сечение такой призмы представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются диагональ основания ($d$) и высота призмы ($h$).

По условию задачи, это сечение является квадратом. Это означает, что его стороны равны, то есть диагональ основания равна высоте призмы: $d = h$.

Площадь этого квадрата-сечения $S_{сеч}$ равна 16 см². Площадь квадрата вычисляется как квадрат его стороны.

$S_{сеч} = d^2 = h^2 = 16$ см².

Из этого уравнения находим высоту призмы и диагональ её основания:

$h = \sqrt{16} = 4$ см.

$d = \sqrt{16} = 4$ см.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания.

Основание призмы — это квадрат с диагональю $d = 4$ см. Площадь квадрата можно найти через его диагональ по формуле $S = \frac{d^2}{2}$.

$S_{осн} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см².

Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 8 \text{ см}² \cdot 4 \text{ см} = 32 \text{ см}³$.

Ответ: 32 см³.

237. В прямоугольном параллелепипеде одна из сторон основания равна 6 см, а боковое ребро — 4 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём параллелепипеда.

237. В прямоугольном параллелепипеде одна из сторон основания равна 6 см, а боковое ребро — 4 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: $a$ и $b$ — стороны основания, $h$ — боковое ребро (высота).
Из условия задачи имеем:
Одна из сторон основания $a = 6$ см.
Боковое ребро $h = 4$ см.
Угол между диагональю параллелепипеда $D$ и плоскостью основания равен $30^\circ$.

Объём прямоугольного параллелепипеда находится по формуле:
$V = a \cdot b \cdot h$
Чтобы найти объём, нам необходимо определить длину второй стороны основания, $b$.

Угол между наклонной (диагональю параллелепипеда $D$) и плоскостью (основанием) — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Проекцией диагонали параллелепипеда $D$ на плоскость основания является диагональ основания $d$. Следовательно, диагональ параллелепипеда $D$, диагональ основания $d$ и высота $h$ образуют прямоугольный треугольник, в котором катетами являются $h$ и $d$, а гипотенузой — $D$. Угол между гипотенузой $D$ и катетом $d$ равен $30^\circ$.

Используя тангенс угла в этом прямоугольном треугольнике, найдем длину диагонали основания $d$:
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{d}$
Выразим отсюда $d$:
$d = \frac{h}{\tan(30^\circ)}$
Подставим известные значения $h=4$ см и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:
$d = \frac{4}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Основание параллелепипеда — это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Диагональ этого прямоугольника $d$ связана с его сторонами по теореме Пифагора:
$d^2 = a^2 + b^2$

Подставим известные значения $a=6$ см и $d=4\sqrt{3}$ см, чтобы найти $b$:
$(4\sqrt{3})^2 = 6^2 + b^2$
$16 \cdot 3 = 36 + b^2$
$48 = 36 + b^2$
$b^2 = 48 - 36$
$b^2 = 12$
$b = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная все три измерения параллелепипеда ($a=6$ см, $b=2\sqrt{3}$ см, $h=4$ см), мы можем вычислить его объём:
$V = a \cdot b \cdot h = 6 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4$
$V = 12\sqrt{3} \cdot 4 = 48\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $48\sqrt{3}$ см$^3$.

238. Основание прямой призмы — ромб с углом $45^\circ$. Диагональ боковой грани равна 8 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

238. Основание прямой призмы — ромб с углом 45°. Диагональ боковой грани равна 8 см и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём призмы.

Для нахождения объема прямой призмы используется формула $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Пусть дана прямая призма, в основании которой лежит ромб со стороной $a$ и острым углом $45^\circ$. Диагональ боковой грани, равная $d = 8$ см, образует с плоскостью основания угол $30^\circ$.

Поскольку призма прямая, ее боковые грани являются прямоугольниками и перпендикулярны основанию. Высота призмы $h$ равна ее боковому ребру. Проекцией диагонали боковой грани на плоскость основания является сторона ромба $a$.

Таким образом, диагональ боковой грани ($d$), высота призмы ($h$) и сторона основания ($a$) образуют прямоугольный треугольник, в котором:

• $d$ — гипотенуза ($d = 8$ см);
• $h$ — катет, противолежащий углу $30^\circ$;
• $a$ — катет, прилежащий к углу $30^\circ$.

Найдем высоту $h$ и сторону основания $a$, используя тригонометрические функции:

$h = d \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

$a = d \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь основания. Основание — это ромб со стороной $a = 4\sqrt{3}$ см и углом $45^\circ$. Площадь ромба находится по формуле $S = a^2 \sin(\alpha)$:

$S_{осн} = (4\sqrt{3})^2 \cdot \sin(45^\circ) = (16 \cdot 3) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 48 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 24\sqrt{2}$ см$^2$.

Наконец, найдем объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 24\sqrt{2} \cdot 4 = 96\sqrt{2}$ см$^3$.

Ответ: $96\sqrt{2}$ см$^3$.

239. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом $\alpha$. Меньшая диагональ призмы равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём призмы.

239. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом $\alpha$. Меньшая диагональ призмы равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём призмы.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

По условию, основание призмы — ромб, а сама призма — прямая. Это означает, что боковые ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, и высота призмы $H$ равна длине бокового ребра.

Пусть меньшая диагональ ромба, лежащего в основании, равна $d_1$. Меньшая диагональ призмы, длина которой равна $d$, соединяет вершины призмы, лежащие на разных основаниях. Эта диагональ призмы, ее проекция на плоскость основания (которой является диагональ ромба $d_1$) и высота призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол наклона диагонали призмы к плоскости основания, равный $\beta$, является углом между гипотенузой $d$ и катетом $d_1$ в этом треугольнике.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике мы можем найти высоту призмы $H$ и меньшую диагональ основания $d_1$:

$H = d \cdot \sin(\beta)$

$d_1 = d \cdot \cos(\beta)$

Теперь найдем площадь основания ($S_{осн}$). Основание — ромб с острым углом $\alpha$. Площадь ромба можно вычислить по формуле $S_{осн} = \frac{1}{2}d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — его диагонали. Мы уже нашли $d_1$. Найдем $d_2$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты такого треугольника равны $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$, а острый угол, противолежащий катету $\frac{d_1}{2}$, равен $\frac{\alpha}{2}$.

Из этого треугольника имеем соотношение:

$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d_1/2}{d_2/2} = \frac{d_1}{d_2}$

Отсюда выразим большую диагональ ромба $d_2$:

$d_2 = \frac{d_1}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = d_1 \cdot \cot(\frac{\alpha}{2})$

Подставим выражение для $d_1$:

$d_2 = (d \cos(\beta)) \cdot \cot(\frac{\alpha}{2})$

Теперь мы можем найти площадь основания ромба:

$S_{осн} = \frac{1}{2}d_1 d_2 = \frac{1}{2} (d \cos(\beta)) \cdot (d \cos(\beta) \cot(\frac{\alpha}{2})) = \frac{1}{2} d^2 \cos^2(\beta) \cot(\frac{\alpha}{2})$

Наконец, вычислим объем призмы, подставив найденные выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$:

$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{1}{2} d^2 \cos^2(\beta) \cot(\frac{\alpha}{2})\right) \cdot (d \sin(\beta))$

$V = \frac{1}{2} d^3 \sin(\beta) \cos^2(\beta) \cot(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $V = \frac{1}{2} d^3 \sin(\beta) \cos^2(\beta) \cot(\frac{\alpha}{2})$

240. Основание прямой призмы — треугольник со стороной $s$ и прилежащими к ней углами $\alpha$ и $\beta$. Диагональ боковой грани, проходящей через сторону основания, противолежащую углу $\alpha$, наклонена к плоскости основания под углом $\gamma$. Найдите объём призмы.

240. Основание прямой призмы — треугольник со стороной $s$ и прилежащими к ней углами $\alpha$ и $\beta$. Диагональ боковой грани, проходящей через сторону основания, противолежащую углу $\alpha$, наклонена к плоскости основания под углом $\gamma$. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы. Найдём эти величины поочерёдно.

Сначала найдём площадь основания $S_{осн}$. Основанием является треугольник, у которого известна сторона $c$ и два прилежащих к ней угла $\alpha$ и $\beta$. Третий угол этого треугольника равен $180^\circ - (\alpha + \beta)$. Для нахождения площади по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ нам нужна ещё одна сторона. Найдём сторону $b$, противолежащую углу $\beta$, по теореме синусов:

$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))} = \frac{c}{\sin(\alpha + \beta)}$

Отсюда $b = \frac{c \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}$.

Теперь можем вычислить площадь основания, используя сторону $c$, найденную сторону $b$ и угол $\alpha$ между ними:

$S_{осн} = \frac{1}{2} c b \sin \alpha = \frac{1}{2} c \left(\frac{c \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}\right) \sin \alpha = \frac{c^2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)}$

Далее найдём высоту призмы $h$. По условию, диагональ боковой грани, построенной на стороне, противолежащей углу $\alpha$, наклонена к плоскости основания под углом $\gamma$. Обозначим длину этой стороны как $a$. Найдём её по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin(\alpha + \beta)}$

$a = \frac{c \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)}$

Так как призма прямая, её высота $h$ равна длине бокового ребра. Угол наклона диагонали к плоскости основания $\gamma$ — это угол между самой диагональю и её проекцией на это основание (которой является сторона $a$). Таким образом, высота $h$, сторона $a$ и диагональ образуют прямоугольный треугольник, в котором $h$ и $a$ — катеты. Связь между ними выражается через тангенс угла $\gamma$:

$\tan \gamma = \frac{h}{a}$

Отсюда выражаем высоту: $h = a \tan \gamma = \frac{c \sin \alpha \tan \gamma}{\sin(\alpha + \beta)}$.

Наконец, находим объём призмы, перемножив площадь основания на высоту:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{c^2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)} \cdot \frac{c \sin \alpha \tan \gamma}{\sin(\alpha + \beta)}$

После упрощения получаем окончательное выражение для объёма:

$V = \frac{c^3 \sin^2 \alpha \sin \beta \tan \gamma}{2 \sin^2(\alpha + \beta)}$

Ответ: $V = \frac{c^3 \sin^2 \alpha \sin \beta \tan \gamma}{2 \sin^2(\alpha + \beta)}$

241. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно $b$ и образует с большей диагональю призмы угол $\beta$. Найдите объём призмы.

241. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно $b$ и образует с большей диагональю призмы угол $\beta$. Найдите объём призмы.

Пусть дана правильная шестиугольная призма. В основании призмы лежит правильный шестиугольник, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Обозначим сторону основания как $a$.

Высота призмы $H$ равна ее боковому ребру, которое по условию равно $b$. Итак, $H = b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром призмы, большей диагональю основания и большей диагональю призмы. Пусть $AA_1$ - боковое ребро, $AD$ - большая диагональ нижнего основания, а $A_1D$ - большая диагональ призмы. Так как призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и диагонали $AD$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, треугольник $\triangle A_1AD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

В этом треугольнике катет $AA_1$ — это боковое ребро, $AA_1 = b$. Катет $AD$ — это большая диагональ основания. Гипотенуза $A_1D$ — большая диагональ призмы.

Угол $\beta$ по условию — это угол между боковым ребром ($AA_1$) и большей диагональю призмы ($A_1D$). В треугольнике $\triangle A_1AD$ это угол $\angle AA_1D$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle A_1AD$ найдем длину катета $AD$: $$ \tan(\beta) = \frac{AD}{AA_1} $$ Отсюда, $$ AD = AA_1 \cdot \tan(\beta) = b \cdot \tan(\beta) $$

Большая диагональ правильного шестиугольника ($d_{осн}$) связана с его стороной $a$ соотношением $d_{осн} = 2a$. В нашем случае $AD = 2a$. Таким образом, $$ 2a = b \tan(\beta) $$ $$ a = \frac{b \tan(\beta)}{2} $$

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $$ S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 $$ Подставим в эту формулу найденное выражение для $a$: $$ S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left( \frac{b \tan(\beta)}{2} \right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{b^2 \tan^2(\beta)}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{8} b^2 \tan^2(\beta) $$

Теперь, зная площадь основания и высоту ($H = b$), найдем объем призмы: $$ V = S_{осн} \cdot H = \left( \frac{3\sqrt{3}}{8} b^2 \tan^2(\beta) \right) \cdot b = \frac{3\sqrt{3}}{8} b^3 \tan^2(\beta) $$

Ответ: $V = \frac{3\sqrt{3}}{8} b^3 \tan^2(\beta)$

242. Основание прямой призмы — параллелограмм со сторонами 5 см и 8 см и углом $30^\circ$. Объём призмы равен $80 \text{ см}^3$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

242. Основание прямой призмы — параллелограмм со сторонами 5 см и 8 см и углом $30^\circ$. Объём призмы равен $80\text{ см}^3$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Для нахождения площади боковой поверхности прямой призмы необходимо знать её высоту и периметр основания.

1. Вычисление площади основания.

Основанием призмы является параллелограмм со сторонами $a = 5$ см, $b = 8$ см и углом между ними $\alpha = 30^\circ$. Площадь основания ($S_{осн}$) вычисляется по формуле площади параллелограмма:

$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Подставив известные значения, получим:

$S_{осн} = 5 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ) = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$ см².

2. Вычисление высоты призмы.

Объём прямой призмы ($V$) равен произведению площади основания на высоту ($h$):

$V = S_{осн} \cdot h$

Из этой формулы можно выразить высоту:

$h = \frac{V}{S_{осн}}$

Подставим известные значения объёма ($V = 80$ см³) и вычисленной площади основания:

$h = \frac{80}{20} = 4$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) находится по формуле:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

где $P_{осн}$ — периметр основания. Сначала найдём периметр параллелограмма:

$P_{осн} = 2(a + b) = 2(5 + 8) = 2 \cdot 13 = 26$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 26 \cdot 4 = 104$ см².

Ответ: $104$ см².

243. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 5 см, а диаметр вписанной окружности — 3 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

243. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 5 см, а диаметр вписанной окружности — 3 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания призмы.

Основанием является равнобокая трапеция. По условию, в эту трапецию можно вписать окружность. Высота такой трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, следовательно, $h = 3$ см.

Боковая сторона трапеции по условию равна $c = 5$ см.

Для любого четырёхугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$. Тогда $a + b = c + c = 5 + 5 = 10$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Подставим известные значения: $S_{осн} = \frac{10}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15$ см$^2$.

2. Найдём высоту призмы.

Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой призмы $H$, диагональю основания $d$ (как проекцией диагонали призмы на основание) и самой диагональю призмы. В этом треугольнике катеты — $H$ и $d$.

Тангенс угла между диагональю призмы и основанием равен отношению высоты призмы к диагонали основания: $\tan(30^\circ) = \frac{H}{d}$, откуда $H = d \cdot \tan(30^\circ)$.

Чтобы найти $H$, необходимо сначала вычислить длину диагонали основания $d$.

Для этого в равнобокой трапеции проведём высоту из вершины меньшего основания к большему. Эта высота отсекает на большем основании отрезок $x$. Длину этого отрезка можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, где гипотенузой является боковая сторона $c=5$ см, а катетами — высота $h=3$ см и отрезок $x$.

$x = \sqrt{c^2 - h^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Этот отрезок также равен полуразности оснований: $x = \frac{a-b}{2}$, следовательно, $a-b = 2x = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Теперь у нас есть система уравнений для нахождения длин оснований:

$\begin{cases} a + b = 10 \\ a - b = 8 \end{cases}$

Сложив уравнения, получим $2a = 18$, откуда $a = 9$ см. Тогда $b = 10 - 9 = 1$ см.

Теперь найдём диагональ трапеции $d$. Рассмотрим другой прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота трапеции $h=3$ см и отрезок, равный $a-x = 9-4=5$ см. Гипотенузой этого треугольника является диагональ $d$. По теореме Пифагора:

$d^2 = h^2 + (a-x)^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$.

Таким образом, $d = \sqrt{34}$ см.

Теперь мы можем найти высоту призмы:

$H = d \cdot \tan(30^\circ) = \sqrt{34} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3}}$ см.

3. Вычислим объём призмы.

$V = S_{осн} \cdot H = 15 \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{34}}{\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$V = \frac{15\sqrt{34}\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{102}}{3} = 5\sqrt{102}$ см$^3$.

Ответ: $5\sqrt{102}$ см$^3$.