Страница 58 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

170. В усеченный конус вписана правильная усеченная четырехугольная пирамида. Радиус большего основания усеченного конуса равен 6 см, высота — 6 см, а образующая — $2\sqrt{10}$ см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

170. В усечённый конус вписана правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Радиус большего основания усечённого конуса равен 6 см, высота — 6 см, а образующая — $2\sqrt{10}$ см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани) усеченной пирамиды. Найдем все необходимые величины.

1. Найдем параметры большего основания пирамиды.

В основании правильной усеченной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Поскольку пирамида вписана в конус, то ее основания (квадраты) вписаны в основания конуса (окружности). Радиус большего основания конуса $R = 6$ см. Этот радиус является радиусом окружности, описанной около квадрата — большего основания пирамиды. Диагональ квадрата ($d_1$) равна диаметру описанной окружности: $d_1 = 2R = 2 \cdot 6 = 12$ см. Сторона квадрата $a_1$ связана с его диагональю соотношением $d_1 = a_1\sqrt{2}$. Отсюда находим сторону большего основания: $a_1 = \frac{d_1}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$ см. Периметр большего основания $P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 6\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$ см.
Ответ: Сторона большего основания $a_1 = 6\sqrt{2}$ см, периметр $P_1 = 24\sqrt{2}$ см.

2. Найдем параметры меньшего основания пирамиды.

Сначала найдем радиус меньшего основания усеченного конуса ($r$). Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса, которое представляет собой равнобокую трапецию с основаниями $2R$ и $2r$, высотой $H$ и боковой стороной, равной образующей $L$. Из вершины меньшего основания опустим высоту на большее. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $L=2\sqrt{10}$ см, одним катетом $H=6$ см и вторым катетом $R-r$. По теореме Пифагора: $L^2 = H^2 + (R-r)^2$. Подставим известные значения: $(2\sqrt{10})^2 = 6^2 + (6-r)^2$. $40 = 36 + (6-r)^2$. $(6-r)^2 = 4$. Так как $R>r$, то $6-r=2$, откуда $r=4$ см. Теперь, аналогично пункту 1, найдем сторону меньшего основания пирамиды $a_2$. Диагональ меньшего квадрата $d_2 = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см. $a_2 = \frac{d_2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ см. Периметр меньшего основания $P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$ см.
Ответ: Сторона меньшего основания $a_2 = 4\sqrt{2}$ см, периметр $P_2 = 16\sqrt{2}$ см.

3. Найдем апофему усеченной пирамиды.

Апофема усеченной пирамиды ($h_a$) является высотой ее боковой грани (трапеции). Рассмотрим прямоугольную трапецию, образованную высотой усеченной пирамиды $H$, апофемами оснований (которые равны половине сторон квадратов) и апофемой $h_a$. Катетами прямоугольного треугольника в этой конструкции будут высота пирамиды $H=6$ см и разность полусторон оснований $\frac{a_1}{2} - \frac{a_2}{2}$. По теореме Пифагора: $h_a^2 = H^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$. $h_a^2 = 6^2 + \left(\frac{6\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 36 + \left(\frac{2\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 36 + (\sqrt{2})^2 = 36 + 2 = 38$. $h_a = \sqrt{38}$ см.
Ответ: Апофема $h_a = \sqrt{38}$ см.

4. Найдем площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности, используя найденные значения $P_1$, $P_2$ и $h_a$. $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a = \frac{1}{2}(24\sqrt{2} + 16\sqrt{2}) \cdot \sqrt{38} = \frac{1}{2}(40\sqrt{2}) \cdot \sqrt{38} = 20\sqrt{2} \cdot \sqrt{38} = 20\sqrt{76}$. Упростим корень: $\sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$. $S_{бок} = 20 \cdot 2\sqrt{19} = 40\sqrt{19}$ см².
Ответ: $40\sqrt{19}$ см².

171. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона большего основания усечённой пирамиды равна 18 см, высота — $\sqrt{3}$ см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

171. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона большего основания усечённой пирамиды равна 18 см, высота — $\sqrt{3}$ см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (R + r) l$, где $R$ — радиус большего основания, $r$ — радиус меньшего основания, а $l$ — образующая конуса.

Так как усечённая пирамида описана около усечённого конуса, основания конуса являются окружностями, вписанными в основания пирамиды. Основания правильной усечённой треугольной пирамиды — это правильные (равносторонние) треугольники.

1. Найдём радиус большего основания конуса $R$.
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, равен $R = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.Сторона большего основания пирамиды $a_1 = 18$ см. Следовательно, радиус большего основания конуса равен:$R = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

2. Найдём радиус меньшего основания $r$ и образующую $l$ конуса.
Рассмотрим осевое сечение, проходящее через высоту усечённой пирамиды $h$ и апофему её боковой грани. Это сечение представляет собой прямоугольную трапецию, у которой основаниями являются радиусы вписанных окружностей $R$ и $r$, а высотой — высота усечённой пирамиды $h$. Боковой стороной этой трапеции является апофема боковой грани пирамиды.

Двугранный угол при ребре большего основания усечённой пирамиды равен углу между боковой гранью и плоскостью основания. В нашем сечении этот угол равен углу при большем основании трапеции, и по условию он составляет $45^\circ$.

В этой прямоугольной трапеции опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота усечённой пирамиды $h$ и разность радиусов оснований $(R - r)$, а острый угол равен $45^\circ$.

Поскольку один из острых углов в прямоугольном треугольнике равен $45^\circ$, этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны:$R - r = h$

Подставим известные значения $R = 3\sqrt{3}$ см и $h = \sqrt{3}$ см:$3\sqrt{3} - r = \sqrt{3}$$r = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Образующая усечённого конуса $l$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого — высота конуса $h$ и разность радиусов его оснований $(R-r)$. По теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Так как мы установили, что $h = R-r = \sqrt{3}$, получаем:$l^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 = 3 + 3 = 6$$l = \sqrt{6}$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности усечённого конуса.
Теперь, зная все необходимые величины, подставим их в формулу площади боковой поверхности:$S_{бок} = \pi (R + r) l = \pi (3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) \sqrt{6}$$S_{бок} = \pi (5\sqrt{3}) \sqrt{6} = 5\pi\sqrt{3 \cdot 6} = 5\pi\sqrt{18}$$S_{бок} = 5\pi\sqrt{9 \cdot 2} = 5\pi \cdot 3\sqrt{2} = 15\pi\sqrt{2}$ см².

Ответ: $15\pi\sqrt{2}$ см².

172. На сфере с центром $O$ отметили точки $C$ и $D$ такие, что $CD = 30$ см. Найдите диаметр сферы, если расстояние от точки $O$ до прямой $CD$ равно 8 см.

172. На сфере с центром $O$ отметили точки $C$ и $D$ такие, что $CD = 30$ см. Найдите диаметр сферы, если расстояние от точки $O$ до прямой $CD$ равно 8 см.

Рассмотрим треугольник OCD, вершинами которого являются центр сферы O и точки C и D на ее поверхности. Так как OC и OD являются радиусами сферы, то $OC = OD = R$. Следовательно, треугольник OCD — равнобедренный с основанием CD.

Расстояние от точки O до прямой CD — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины O на основание CD. Обозначим его OH. По условию, $OH = 8$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это означает, что точка H является серединой отрезка CD. Поэтому мы можем найти длину катета CH в прямоугольном треугольнике OHC:
$CH = \frac{CD}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Теперь мы можем найти радиус сферы R, который в треугольнике OHC является гипотенузой OC. Применим теорему Пифагора:
$R^2 = OC^2 = OH^2 + CH^2$
$R^2 = 8^2 + 15^2$
$R^2 = 64 + 225$
$R^2 = 289$
$R = \sqrt{289} = 17$ см.

Диаметр сферы D равен удвоенному радиусу:
$D = 2R = 2 \cdot 17 = 34$ см.

Ответ: 34 см.

173. Радиус сферы равен 4,4 см. Как относительно сферы — внутри сферы, на сфере или вне сферы — расположена точка $B$, если она удалена от центра сферы:

1) на $4\frac{1}{2}$ см;

2) на $4\frac{1}{5}$ см;

3) на $4\frac{2}{5}$ см?

173. Радиус сферы равен 4,4 см. Как относительно сферы — внутри сферы, на сфере или вне сферы — расположена точка B, если она удалена от центра сферы:

1) на $4 \frac{1}{2}$ см;

2) на $4 \frac{1}{5}$ см;

3) на $4 \frac{2}{5}$ см?

Пусть $R$ — радиус сферы, а $d$ — расстояние от центра сферы до точки $B$. По условию, радиус сферы равен $R = 4.4$ см.

Для определения положения точки $B$ относительно сферы необходимо сравнить расстояние $d$ от центра сферы до этой точки с радиусом $R$:

• Если $d < R$, точка находится внутри сферы.
• Если $d = R$, точка находится на сфере.
• Если $d > R$, точка находится вне сферы.

Чтобы выполнить сравнение, представим все расстояния в виде десятичных дробей.

1) на $4\frac{1}{2}$ см

Расстояние от центра до точки $B$ равно $d = 4\frac{1}{2}$ см.

Переведем это значение в десятичную дробь: $4\frac{1}{2} = 4.5$ см.

Теперь сравним это расстояние с радиусом сферы: $4.5$ см > $4.4$ см.

Так как $d > R$, точка $B$ расположена вне сферы.

Ответ: вне сферы.

2) на $4\frac{1}{5}$ см

Расстояние от центра до точки $B$ равно $d = 4\frac{1}{5}$ см.

Переведем это значение в десятичную дробь: $4\frac{1}{5} = 4 + 0.2 = 4.2$ см.

Сравним это расстояние с радиусом сферы: $4.2$ см < $4.4$ см.

Так как $d < R$, точка $B$ расположена внутри сферы.

Ответ: внутри сферы.

3) на $4\frac{2}{5}$ см

Расстояние от центра до точки $B$ равно $d = 4\frac{2}{5}$ см.

Переведем это значение в десятичную дробь: $4\frac{2}{5} = 4 + 0.4 = 4.4$ см.

Сравним это расстояние с радиусом сферы: $4.4$ см = $4.4$ см.

Так как $d = R$, точка $B$ расположена на сфере.

Ответ: на сфере.

174. Определите по уравнению сферы координаты её центра и радиус:

1) $(x - 8)^2 + (y - 2)^2 + (z + 6)^2 = 64;$

2) $(x + 1)^2 + y^2 + z^2 = 17.$

174. Определите по уравнению сферы координаты её центра и радиус:

1) $ (x - 8)^2 + (y - 2)^2 + (z + 6)^2 = 64; $

2) $ (x + 1)^2 + y^2 + z^2 = 17. $

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Для определения координат центра и радиуса сферы необходимо сравнить заданное уравнение с этим стандартным видом.

1) $(x - 8)^2 + (y - 2)^2 + (z + 6)^2 = 64$

Сравниваем данное уравнение с каноническим:
Из $(x - 8)^2$ следует, что $x_0 = 8$.
Из $(y - 2)^2$ следует, что $y_0 = 2$.
Выражение $(z + 6)^2$ можно переписать как $(z - (-6))^2$, откуда следует, что $z_0 = -6$.
Следовательно, координаты центра сферы: $(8; 2; -6)$.
Правая часть уравнения равна квадрату радиуса: $R^2 = 64$.
Находим радиус: $R = \sqrt{64} = 8$.
Ответ: центр сферы имеет координаты $(8; 2; -6)$, радиус $R = 8$.

2) $(x + 1)^2 + y^2 + z^2 = 17$

Перепишем уравнение в стандартном виде, чтобы явно видеть все компоненты:
$(x - (-1))^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 17$.
Сравниваем с каноническим уравнением:
Из $(x - (-1))^2$ следует, что $x_0 = -1$.
Из $(y - 0)^2$ следует, что $y_0 = 0$.
Из $(z - 0)^2$ следует, что $z_0 = 0$.
Следовательно, координаты центра сферы: $(-1; 0; 0)$.
Правая часть уравнения равна квадрату радиуса: $R^2 = 17$.
Находим радиус: $R = \sqrt{17}$.
Ответ: центр сферы имеет координаты $(-1; 0; 0)$, радиус $R = \sqrt{17}$.

175. Составьте уравнение сферы с центром в точке $B (4; 3; -14)$ и радиусом $r = 17$.

175. Составьте уравнение сферы с центром в точке $B(4; 3; -14)$ и радиусом $r = 17$.

Общее уравнение сферы в декартовой системе координат с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $r$ задается формулой:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2$

Согласно условию задачи, центр сферы находится в точке $B(4; 3; -14)$ и ее радиус $r = 17$. Следовательно, мы имеем следующие значения:
$x_0 = 4$
$y_0 = 3$
$z_0 = -14$
$r = 17$

Подставим эти значения в общую формулу уравнения сферы:
$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 + (z - (-14))^2 = 17^2$

Теперь упростим полученное выражение. Знак минус перед отрицательным числом $z_0$ меняется на плюс: $(z - (-14)) = (z + 14)$. Затем вычислим квадрат радиуса:
$r^2 = 17^2 = 289$

Таким образом, итоговое уравнение сферы имеет вид:
$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 + (z + 14)^2 = 289$

Ответ: $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 + (z + 14)^2 = 289$

176. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок CD, если $C (2; -5; -2)$, $D (-4; 3; 2)$.

176. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок CD, если $C(2; -5; -2)$, $D(-4; 3; 2)$.

Уравнение сферы в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0; z_0)$ — координаты центра сферы, а $R$ — её радиус.

1. Нахождение центра сферы.

Поскольку отрезок $CD$ является диаметром сферы, её центр $O$ будет находиться точно посередине этого отрезка. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов. Даны точки $C(2; -5; -2)$ и $D(-4; 3; 2)$.

Найдем координаты центра $O(x_0; y_0; z_0)$:

$x_0 = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_0 = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$z_0 = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Таким образом, центр сферы — точка $O(-1; -1; 0)$.

2. Нахождение радиуса сферы.

Радиус $R$ сферы равен половине длины диаметра $CD$. Длину диаметра (расстояние между точками $C$ и $D$) можно найти по формуле:

$d = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2}$

Вычислим квадрат длины диаметра $d^2$ для удобства, так как в уравнении сферы используется квадрат радиуса $R^2 = (d/2)^2 = d^2/4$.

$d^2 = (-4 - 2)^2 + (3 - (-5))^2 + (2 - (-2))^2 = (-6)^2 + (8)^2 + (4)^2 = 36 + 64 + 16 = 116$.

Теперь найдем квадрат радиуса:

$R^2 = \frac{d^2}{4} = \frac{116}{4} = 29$.

Также радиус можно было найти как расстояние от центра $O(-1; -1; 0)$ до любой из точек на сфере, например, до точки $C(2; -5; -2)$:

$R^2 = (2 - (-1))^2 + (-5 - (-1))^2 + (-2 - 0)^2 = 3^2 + (-4)^2 + (-2)^2 = 9 + 16 + 4 = 29$.

3. Составление уравнения сферы.

Подставим найденные координаты центра $O(-1; -1; 0)$ и значение квадрата радиуса $R^2=29$ в общую формулу уравнения сферы:

$(x - (-1))^2 + (y - (-1))^2 + (z - 0)^2 = 29$

$(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 29$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 29$

177. Точки C $(x; 0; -2)$ и D $(0; y; 2)$ принадлежат сфере $x^2 + y^2 + z^2 = 20$. Найдите хорду CD.

177. Точки C $(x; 0; -2)$ и D $(0; y; 2)$ принадлежат сфере $x^2 + y^2 + z^2 = 20$. Найдите хорду CD.

Нахождение координат точки C

Поскольку точка $C(x; 0; -2)$ принадлежит сфере, ее координаты должны удовлетворять уравнению сферы $x^2 + y^2 + z^2 = 20$. Подставим известные координаты точки C в это уравнение:

$x^2 + 0^2 + (-2)^2 = 20$

$x^2 + 0 + 4 = 20$

$x^2 = 20 - 4$

$x^2 = 16$

Отсюда $x = \sqrt{16}$, что дает два возможных значения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Таким образом, координаты точки C могут быть $(4; 0; -2)$ или $(-4; 0; -2)$.

Ответ: $x = \pm 4$.

Нахождение координат точки D

Аналогично, точка $D(0; y; 2)$ также принадлежит сфере, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты точки D в уравнение:

$0^2 + y^2 + 2^2 = 20$

$0 + y^2 + 4 = 20$

$y^2 = 20 - 4$

$y^2 = 16$

Отсюда $y = \sqrt{16}$, что дает два возможных значения: $y_1 = 4$ и $y_2 = -4$.

Таким образом, координаты точки D могут быть $(0; 4; 2)$ или $(0; -4; 2)$.

Ответ: $y = \pm 4$.

Нахождение длины хорды CD

Длина хорды CD — это расстояние между точками C и D. Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между двумя точками в пространстве: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.

Для расчета мы можем выбрать любую из возможных комбинаций координат. Например, возьмем $C(4; 0; -2)$ и $D(0; 4; 2)$. Выбор других знаков для координат $x$ и $y$ не изменит результат, так как в формуле используются квадраты разностей.

Подставим координаты в формулу:

$CD = \sqrt{(0 - 4)^2 + (4 - 0)^2 + (2 - (-2))^2}$

$CD = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (2 + 2)^2}$

$CD = \sqrt{16 + 16 + 4^2}$

$CD = \sqrt{16 + 16 + 16}$

$CD = \sqrt{3 \cdot 16}$

$CD = \sqrt{48}$

Упростим корень: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Ответ: $4\sqrt{3}$.

178. Точка C принадлежит сфере $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 49$, точка O — начало координат. Центр данной сферы принадлежит прямой OC, но не принадлежит отрезку OC. Найдите расстояние от точки C до начала координат.

178. Точка $C$ принадлежит сфере $ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 49 $, точка $O$ — начало координат. Центр данной сферы принадлежит прямой $OC$, но не принадлежит отрезку $OC$. Найдите расстояние от точки $C$ до начала координат.

Проанализируем уравнение сферы: $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 + z^2 = 49$. Общее уравнение сферы с центром в точке $A(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$. Сравнивая с данным уравнением, находим координаты центра сферы $A$ и ее радиус $R$:

• Центр сферы: $A(-3, 4, 0)$.
• Квадрат радиуса: $R^2 = 49$, следовательно, радиус $R = 7$.

Точка $O$ — это начало координат, то есть $O(0, 0, 0)$. Найдем расстояние от центра сферы $A$ до начала координат $O$: $OA = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (4 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5$.

По условию задачи, центр сферы $A$ принадлежит прямой $OC$, но не принадлежит отрезку $OC$. Это означает, что все три точки — $O$, $C$ и $A$ — лежат на одной прямой. Точка $C$ принадлежит сфере, поэтому расстояние от центра сферы $A$ до точки $C$ равно радиусу: $AC = R = 7$.

Так как точки $O$, $C$, $A$ лежат на одной прямой, возможны три варианта их взаимного расположения:

1. Точка A лежит между O и C. В этом случае $A$ принадлежит отрезку $OC$. Расстояние $OC$ было бы равно сумме расстояний $OA$ и $AC$: $OC = OA + AC = 5 + 7 = 12$. Этот вариант противоречит условию, что центр $A$ не принадлежит отрезку $OC$.
2. Точка C лежит между O и A. В этом случае $C$ принадлежит отрезку $OA$. Расстояние $OA$ было бы равно сумме расстояний $OC$ и $CA$: $OA = OC + CA$. Тогда $OC = OA - CA = 5 - 7 = -2$. Расстояние не может быть отрицательным, следовательно, этот вариант невозможен.
3. Точка O лежит между A и C. В этом случае $O$ принадлежит отрезку $AC$. Расстояние $AC$ равно сумме расстояний $AO$ и $OC$: $AC = AO + OC$. Этот вариант удовлетворяет условию, так как точка $A$ не лежит на отрезке $OC$. Найдем искомое расстояние $OC$: $OC = AC - AO = 7 - 5 = 2$.

Единственный возможный вариант, удовлетворяющий всем условиям задачи, дает расстояние от точки $C$ до начала координат, равное 2.

Ответ: 2