Страница 51 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

113. Точки $O$ и $O_1$ — центры соответственно нижнего и верхнего оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 8 см, а высота — 12 см. Из середины отрезка $OO_1$ проведён луч, пересекающий плоскость нижнего основания в точке, удалённой на 24 см от точки $O$. В каком отношении проведённый луч делит образующую цилиндра, которую он пересекает, считая от плоскости нижнего основания?

113. Точки $O$ и $O_1$ — центры соответственно нижнего и верхнего оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 8 см, а высота — 12 см. Из середины отрезка $OO_1$ проведён луч, пересекающий плоскость нижнего основания в точке, удалённой на 24 см от точки $O$. В каком отношении проведённый луч делит образующую цилиндра, которую он пересекает, считая от плоскости нижнего основания?

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания O совпадает с началом координат (0, 0, 0), а ось цилиндра OO₁ лежит на оси Oz.

Согласно условию:

• Координаты центра нижнего основания: $O(0, 0, 0)$.
• Высота цилиндра $H = 12$ см, значит, координаты центра верхнего основания: $O_1(0, 0, 12)$.
• Радиус основания цилиндра $R = 8$ см.

Найдем координаты середины отрезка $OO_1$, обозначим ее точкой M.$M = (\frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+12}{2}) = (0, 0, 6)$.

Из точки M проведён луч, который пересекает плоскость нижнего основания ($z=0$) в точке A, удаленной от точки O на 24 см. Для упрощения расчетов разместим точку A на оси Ox. Тогда ее координаты будут $A(24, 0, 0)$.

Рассмотрим осевое сечение цилиндра, проходящее через ось Oz и точку A. Это будет плоскость xOz. В этой плоскости задача сводится к двумерной.

В плоскости xOz у нас есть:

• Точка M с координатами $(0, 6)$.
• Точка A с координатами $(24, 0)$.

Луч, выходящий из M и проходящий через A, представляет собой часть прямой MA. Найдем уравнение этой прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, z_1)$ и $(x_2, z_2)$, имеет вид:$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$

Подставим координаты точек M(0, 6) и A(24, 0):$\frac{x - 0}{24 - 0} = \frac{z - 6}{0 - 6}$$\frac{x}{24} = \frac{z - 6}{-6}$

Этот луч пересекает образующую цилиндра. В нашем сечении (плоскость xOz) образующая, которую пересекает луч, является вертикальным отрезком прямой $x = R$, то есть $x = 8$.

Чтобы найти точку пересечения, подставим $x = 8$ в уравнение прямой MA:$\frac{8}{24} = \frac{z - 6}{-6}$$\frac{1}{3} = \frac{z - 6}{-6}$

Решим уравнение относительно z:$1 \cdot (-6) = 3 \cdot (z - 6)$$-6 = 3z - 18$$3z = 18 - 6$$3z = 12$$z = 4$ см.

Это означает, что луч пересекает образующую цилиндра на высоте 4 см от плоскости нижнего основания.

Высота всей образующей равна высоте цилиндра, то есть 12 см. Точка пересечения делит образующую на два отрезка:

• Нижний отрезок (от нижнего основания до точки пересечения): 4 см.
• Верхний отрезок (от точки пересечения до верхнего основания): $12 - 4 = 8$ см.

Искомое отношение, считая от плоскости нижнего основания, — это отношение длины нижнего отрезка к длине верхнего:$4 : 8$

Сокращая, получаем:$1 : 2$

Ответ: $1:2$.

114. Радиус основания цилиндра равен 10 см, а высота — 14 см. Плоскость $\beta$ пересекает его основания по хордам длиной 12 см и 16 см. Центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от плоскости $\beta$. Найдите угол между плоскостью $\beta$ и плоскостью основания цилиндра.

114. Радиус основания цилиндра равен 10 см, а высота — 14 см. Плоскость $ \beta $ пересекает его основания по хордам длиной 12 см и 16 см. Центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от плоскости $ \beta $. Найдите угол между плоскостью $ \beta $ и плоскостью основания цилиндра.

Для решения задачи воспользуемся данными: радиус основания цилиндра $R = 10$ см, высота $H = 14$ см. Плоскость $\beta$ пересекает основания по хордам $l_1 = 12$ см и $l_2 = 16$ см.

1. Найдем расстояния от центров оснований до хорд

Рассмотрим одно из оснований цилиндра. Хорда, радиус, проведенный к одному из ее концов, и перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, образуют прямоугольный треугольник. Длина перпендикуляра и есть искомое расстояние.

Для хорды $l_1 = 12$ см:
Катет, равный половине хорды, составляет $l_1/2 = 12/2 = 6$ см.
Гипотенуза — это радиус $R = 10$ см.
Расстояние $d_1$ от центра до хорды (второй катет) найдем по теореме Пифагора:
$d_1 = \sqrt{R^2 - (l_1/2)^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Для хорды $l_2 = 16$ см:
Катет, равный половине хорды, составляет $l_2/2 = 16/2 = 8$ см.
Гипотенуза — это радиус $R = 10$ см.
Расстояние $d_2$ от центра до хорды найдем по теореме Пифагора:
$d_2 = \sqrt{R^2 - (l_2/2)^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

2. Найдем угол между плоскостями

Угол между секущей плоскостью $\beta$ и плоскостью основания — это двугранный угол. Для его нахождения рассмотрим сечение цилиндра, перпендикулярное обеим хордам. В этом сечении мы получим прямоугольную трапецию, образованную осью цилиндра, перпендикулярами $d_1$ и $d_2$ к хордам и отрезком, соединяющим середины хорд, который лежит в плоскости $\beta$.

Искомый угол $\alpha$ — это угол наклона этого отрезка к плоскости основания. Его можно найти из прямоугольного треугольника, катетами которого являются:
1. Высота цилиндра $H$.
2. Разность расстояний от центров оснований до хорд, так как по условию центры оснований лежат по одну сторону от плоскости $\beta$.

Противолежащий катет (вертикальный) равен высоте цилиндра: $H = 14$ см.
Прилежащий катет (горизонтальный) равен разности расстояний: $|d_1 - d_2| = |8 - 6| = 2$ см.

Тангенс угла наклона $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{|d_1 - d_2|} = \frac{14}{2} = 7$.

Следовательно, искомый угол равен $\arctan(7)$.

Ответ: $\arctan(7)$.

115. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $a$, а высота призмы — $H$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около призмы.

115. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $a$, а высота призмы — $H$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около призмы.

По условию задачи, дана правильная шестиугольная призма со стороной основания $a$ и высотой $H$. Вокруг этой призмы описан цилиндр. Требуется найти площадь осевого сечения этого цилиндра.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра и диаметру его основания.

Поскольку цилиндр описан около призмы, их высоты равны. Таким образом, высота цилиндра также равна $H$.

Основание цилиндра представляет собой круг, который описан около основания призмы — правильного шестиугольника. Это означает, что все вершины шестиугольника лежат на окружности, являющейся основанием цилиндра.

Радиус $R$ окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной $a$, равен этой стороне. Это следует из того, что правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников с вершиной в центре окружности. Таким образом, радиус основания цилиндра равен:

$R = a$

Диаметр основания цилиндра $D$ в два раза больше радиуса:

$D = 2R = 2a$

Площадь осевого сечения цилиндра $S$ равна произведению его высоты $H$ на диаметр основания $D$:

$S = D \cdot H$

Подставим известные значения:

$S = 2a \cdot H = 2aH$

Таким образом, площадь осевого сечения описанного цилиндра равна $2aH$.

Ответ: $2aH$.

116. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания и высота которого равны 3 см.

116. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания и высота которого равны 3 см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

Так как правильная треугольная призма вписана в цилиндр, то ее высота равна высоте цилиндра, а ее основание (правильный треугольник) вписано в основание цилиндра (окружность).
Из условия задачи нам известно:
Высота призмы $h = 3$ см (равна высоте цилиндра).
Радиус окружности, описанной около основания призмы, $R = 3$ см (равен радиусу основания цилиндра).

Найдем сторону основания призмы. Сторона правильного треугольника ($a$) связана с радиусом описанной около него окружности ($R$) соотношением:
$a = R\sqrt{3}$
Подставим известное значение $R$:
$a = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем периметр основания призмы. Так как в основании лежит правильный треугольник со стороной $a$, его периметр равен:
$P_{осн} = 3a = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы, используя найденные значения периметра основания и высоты:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 9\sqrt{3} \cdot 3 = 27\sqrt{3}$ см².

Ответ: $27\sqrt{3}$ см².

117. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Диагональ боковой грани, содержащей больший из катетов, образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

117. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Диагональ боковой грани, содержащей больший из катетов, образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

Для решения задачи нам нужно найти радиус основания и высоту цилиндра, описанного около призмы. Высота цилиндра равна высоте призмы, а радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, описанной около основания призмы.

1. Нахождение параметров основания.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a = 10$ см и $b = 24$ см. Найдем гипотенузу $c$ этого треугольника по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ см.

Цилиндр описан около призмы, значит, его основание — это окружность, описанная около прямоугольного треугольника в основании призмы. Радиус $R$ такой окружности равен половине гипотенузы.

$R = \frac{c}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

2. Нахождение высоты призмы.

Высота цилиндра $H$ равна высоте призмы. По условию, диагональ боковой грани, содержащей больший катет ($b = 24$ см), образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Предполагаем, что призма прямая, так как в ином случае задача не определена однозначно. В прямой призме боковые ребра перпендикулярны основанию.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой призмы $H$, большим катетом основания $b$ и диагональю боковой грани. В этом треугольнике $H$ является катетом, противолежащим углу $30^\circ$, а катет $b$ — прилежащим катетом.

Тангенс угла наклона диагонали к плоскости основания равен отношению высоты призмы к соответствующей стороне основания:

$\tan(30^\circ) = \frac{H}{b}$

Отсюда находим высоту $H$:

$H = b \cdot \tan(30^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см.

3. Нахождение площади полной поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

$S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi RH = 2\pi R(R + H)$

Подставим найденные значения $R = 13$ см и $H = 8\sqrt{3}$ см:

$S_{полн} = 2\pi \cdot 13(13 + 8\sqrt{3}) = 26\pi(13 + 8\sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $26\pi(13 + 8\sqrt{3})$ см$^2$.

118. Основанием призмы является равнобедренный треугольник с углом $ \alpha $ между равными сторонами. Боковая сторона треугольника равна $ a $. Диагональ боковой грани призмы, содержащей данную сторону основания, образует с плоскостью основания призмы угол $ \beta $. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

118. Основанием призмы является равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ между равными сторонами. Боковая сторона треугольника равна $a$. Диагональ боковой грани призмы, содержащей данную сторону основания, образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

Для нахождения площади боковой поверхности описанного цилиндра необходимо найти его радиус основания $R$ и высоту $H$. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R H$.

Нахождение радиуса основания цилиндра

Радиус основания цилиндра, описанного около призмы, равен радиусу $R$ окружности, описанной около основания призмы. Основание призмы — это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными $a$, и углом $\alpha$ между ними.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $a$ и $c$. Угол между равными сторонами равен $\alpha$. Третью сторону $c$ найдем по теореме косинусов:$c^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$.

Используя формулу половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:$c^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.Отсюда, $c = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Радиус $R$ описанной окружности можно найти, используя следствие из теоремы синусов: $R = \frac{c}{2\sin(\alpha)}$.Подставим найденное значение $c$:$R = \frac{2a\sin(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\alpha)}$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$:$R = \frac{2a\sin(\frac{\alpha}{2})}{2 \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Нахождение высоты цилиндра

Высота цилиндра равна высоте призмы $H$. Так как в условии не указано иное, будем считать призму прямой. В этом случае боковые ребра призмы перпендикулярны ее основанию.

Рассмотрим боковую грань, содержащую сторону основания длиной $a$. Эта грань является прямоугольником со сторонами $a$ и $H$. Диагональ этой грани, ее проекция на плоскость основания (которой является сама сторона $a$) и боковое ребро призмы (высота $H$) образуют прямоугольный треугольник.

По условию, угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания равен $\beta$. В данном прямоугольном треугольнике этот угол является углом между гипотенузой (диагональю) и катетом (стороной $a$). Другой катет равен высоте призмы $H$.

Таким образом, мы имеем соотношение:$\tan(\beta) = \frac{H}{a}$.

Отсюда находим высоту:$H = a \tan(\beta)$.

Вычисление площади боковой поверхности цилиндра

Теперь, зная радиус $R$ и высоту $H$, мы можем вычислить площадь боковой поверхности цилиндра по формуле $S_{бок} = 2\pi R H$.

Подставим найденные выражения для $R$ и $H$:$S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{a}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot a \tan(\beta)$.

Упрощая выражение, получаем:$S_{бок} = \frac{\pi a^2 \tan(\beta)}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2 \tan(\beta)}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$