Страница 44 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

39. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 2; 3; 4;

2) 7; 1; 8;

3) 3; 5; 9?

39. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 2; 3; 4;

2) 7; 1; 8;

3) 3; 5; 9?

Сумма трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ может быть нулевым вектором, если эти векторы могут образовать замкнутый треугольник. Геометрически это означает, что если отложить эти векторы последовательно друг за другом (начало следующего вектора совпадает с концом предыдущего), то конец последнего вектора совпадет с началом первого. Это возможно тогда и только тогда, когда модули векторов удовлетворяют неравенству треугольника.

Для трех отрезков с длинами $a$, $b$ и $c$ неравенство треугольника означает, что длина любой стороны должна быть меньше или равна сумме длин двух других сторон. Если предположить, что $c$ — наибольшая из длин, то достаточно проверить выполнение одного условия: $c \le a + b$.

Пусть модули векторов равны $a = 2$, $b = 3$ и $c = 4$.

Проверим, выполняется ли для этих длин неравенство треугольника. Наибольшая длина равна 4. Найдем сумму двух других длин:

$2 + 3 = 5$

Так как $4 < 5$, условие $4 \le 2 + 3$ выполняется. Следовательно, из отрезков с такими длинами можно составить треугольник. Это означает, что можно расположить три вектора с данными модулями так, чтобы их сумма была равна нулевому вектору.

Ответ: Да.

Пусть модули векторов равны $a = 7$, $b = 1$ и $c = 8$.

Проверим, выполняется ли для этих длин неравенство треугольника. Наибольшая длина равна 8. Найдем сумму двух других длин:

$7 + 1 = 8$

Так как $8 = 8$, условие $8 \le 7 + 1$ выполняется. Этот случай соответствует вырожденному треугольнику, когда все три вектора коллинеарны (расположены на одной прямой). Чтобы их сумма была нулевой, векторы с модулями 7 и 1 должны быть сонаправлены, а вектор с модулем 8 должен быть направлен в противоположную сторону.

Ответ: Да.

Пусть модули векторов равны $a = 3$, $b = 5$ и $c = 9$.

Проверим, выполняется ли для этих длин неравенство треугольника. Наибольшая длина равна 9. Найдем сумму двух других длин:

$3 + 5 = 8$

Так как $9 > 8$, условие $9 \le 3 + 5$ не выполняется. Это означает, что из отрезков с такими длинами невозможно составить треугольник (даже вырожденный).

Алгебраически, если сумма векторов $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$, то $\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b})$. Тогда их модули связаны соотношением $|\vec{c}| = |\vec{a} + \vec{b}|$. Согласно неравенству треугольника для векторов, $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Отсюда следует, что $|\vec{c}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Подставляя наши значения, получаем: $9 \le 3 + 5$, то есть $9 \le 8$, что является ложным утверждением. Следовательно, сумма векторов с такими модулями не может быть нулевой.

Ответ: Нет.

40. Даны векторы $ \vec{a} (4; -5; 6) $ и $ \vec{b} (-1; 2; 5) $. Найдите:

1) координаты вектора $ \vec{a} + \vec{b} $;

2) $ |\vec{a} + \vec{b}| $.

40. Даны векторы $\vec{a}$ (4; -5; 6) и $\vec{b}$ (-1; 2; 5). Найдите:

1) координаты вектора $\vec{a}+\vec{b}$;

2) $|\vec{a}+\vec{b}|.$

1) координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$

Даны векторы $\vec{a}$ с координатами $(4; -5; 6)$ и $\vec{b}$ с координатами $(-1; 2; 5)$.

Сумма двух векторов находится путем сложения их соответствующих координат. Обозначим результирующий вектор как $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$. Его координаты $(c_x; c_y; c_z)$ будут равны:

$c_x = a_x + b_x = 4 + (-1) = 3$

$c_y = a_y + b_y = -5 + 2 = -3$

$c_z = a_z + b_z = 6 + 5 = 11$

Следовательно, координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$ равны $(3; -3; 11)$.

Ответ: $(3; -3; 11)$

2) $|\vec{a} + \vec{b}|$

Модуль (длина) вектора вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат. Формула для модуля вектора $\vec{c}(c_x; c_y; c_z)$ выглядит так:

$|\vec{c}| = \sqrt{c_x^2 + c_y^2 + c_z^2}$

Из предыдущего пункта мы знаем, что вектор $\vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты $(3; -3; 11)$. Подставим эти значения в формулу:

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 11^2}$

Выполним вычисления:

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{9 + 9 + 121} = \sqrt{18 + 121} = \sqrt{139}$

Число 139 является простым, поэтому корень из него не извлекается и не упрощается.

Ответ: $\sqrt{139}$

41. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите разность векторов:

1) $\vec{A_1D}$ и $\vec{BC}$;

2) $\vec{DB_1}$ и $\vec{CC_1}$.

41. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите разность векторов:

1) $\vec{A_1D}$ и $\vec{BC}$;

2) $\vec{DB_1}$ и $\vec{CC_1}$.

1)

Чтобы найти разность векторов $\vec{A_1D} - \vec{BC}$, воспользуемся свойствами куба. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грани являются квадратами, а соответствующие ребра параллельны и равны. Векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным отрезкам, равны. В частности, для граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ векторы $\vec{BC}$ и $\vec{A_1D_1}$ равны, так как они сонаправлены (оба параллельны оси, перпендикулярной граням $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$) и их длины равны ребру куба.

Следовательно, мы можем заменить вектор $\vec{BC}$ на равный ему вектор $\vec{A_1D_1}$:
$ \vec{A_1D} - \vec{BC} = \vec{A_1D} - \vec{A_1D_1} $

Разность двух векторов, отложенных от одной точки, представляет собой вектор, соединяющий их концы. Этот вектор направлен от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого вектора. По правилу вычитания векторов:
$ \vec{A_1D} - \vec{A_1D_1} = \vec{D_1D} $

Ответ: $ \vec{D_1D} $

2)

Чтобы найти разность векторов $\vec{DB_1} - \vec{CC_1}$, также используем свойства куба. Боковые ребра куба параллельны и равны, поэтому соответствующие им векторы равны: $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.

Заменим в выражении вектор $\vec{CC_1}$ на равный ему вектор $\vec{DD_1}$. Это позволит нам привести векторы к общему началу в точке $D$:
$ \vec{DB_1} - \vec{CC_1} = \vec{DB_1} - \vec{DD_1} $

Применяя правило вычитания векторов, исходящих из одной точки, получаем:
$ \vec{DB_1} - \vec{DD_1} = \vec{D_1B_1} $

Заметим, что $DBB_1D_1$ — это прямоугольник (диагональное сечение куба), поэтому вектор $\vec{D_1B_1}$ также равен вектору $\vec{DB}$. Оба ответа являются верными.

Ответ: $ \vec{D_1B_1} $

42. Даны векторы $\vec{a} (4; -5; 6)$ и $\vec{b} (-1; 2; 5)$. Найдите $|\vec{a} - \vec{b}|$.

42. Даны векторы $\vec{a}$ (4; -5; 6) и $\vec{b}$ (-1; 2; 5). Найдите $\left| \vec{a} - \vec{b} \right|$.

Чтобы найти модуль разности векторов $|\vec{a} - \vec{b}|$, необходимо сначала найти координаты вектора, являющегося их разностью, а затем вычислить его длину.

Даны векторы $\vec{a}(4; -5; 6)$ и $\vec{b}(-1; 2; 5)$.

1. Найдем координаты вектора разности $\vec{a} - \vec{b}$.

Для этого нужно из координат вектора $\vec{a}$ вычесть соответствующие координаты вектора $\vec{b}$:

$\vec{a} - \vec{b} = (4 - (-1); -5 - 2; 6 - 5) = (4 + 1; -7; 1) = (5; -7; 1)$.

2. Найдем модуль (длину) полученного вектора с координатами $(5; -7; 1)$.

Длина вектора с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле:

$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Подставим координаты нашего вектора разности:

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-7)^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 49 + 1} = \sqrt{75}$.

Упростим полученное значение:

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.

Ответ: $5\sqrt{3}$

43. Найдите координаты точки C такой, что $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}$, если $A (3; -4; 1)$, $B (-2; 6; -3)$.

43. Найдите координаты точки C такой, что $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}$, если A (3; -4; 1), B (-2; 6; -3).

Пусть искомая точка C имеет координаты $(x; y; z)$.Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.Найдем координаты векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$, зная, что A(3; -4; 1) и B(-2; 6; -3).

Координаты вектора $\vec{CA}$ равны:
$\vec{CA} = (3 - x; -4 - y; 1 - z)$

Координаты вектора $\vec{CB}$ равны:
$\vec{CB} = (-2 - x; 6 - y; -3 - z)$

По условию задачи, $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}$. Сумма векторов находится путем сложения их соответствующих координат. Нулевой вектор $\vec{0}$ имеет координаты (0; 0; 0).
$\vec{CA} + \vec{CB} = ( (3 - x) + (-2 - x); (-4 - y) + (6 - y); (1 - z) + (-3 - z) ) = (0; 0; 0)$

Упростим выражения для каждой координаты:
$(1 - 2x; 2 - 2y; -2 - 2z) = (0; 0; 0)$

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Это дает нам систему из трех уравнений:
1) $1 - 2x = 0$
2) $2 - 2y = 0$
3) $-2 - 2z = 0$

Решим каждое уравнение:
1) $1 - 2x = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} = 0.5$
2) $2 - 2y = 0 \implies 2y = 2 \implies y = 1$
3) $-2 - 2z = 0 \implies 2z = -2 \implies z = -1$

Таким образом, координаты точки C равны (0.5; 1; -1). Геометрически это означает, что точка C является серединой отрезка AB.

Ответ: C(0.5; 1; -1).

44. Даны векторы $\vec{a} (-2; 4; 1)$, $\vec{b} (3; -1; 4)$, $\vec{c} (-1; -3; z)$.

Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$?

44. Даны векторы $\vec{a} (-2; 4; 1)$, $\vec{b} (3; -1; 4)$, $\vec{c} (-1; -3; z)$.

Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$?

Чтобы найти наименьшее значение модуля вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$, сначала найдем координаты этого вектора. Обозначим результирующий вектор как $\vec{d}$.

$\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

Координаты вектора $\vec{d}$ находятся путем сложения и вычитания соответствующих координат векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

$\vec{a} = (-2; 4; 1)$

$\vec{b} = (3; -1; 4)$

$\vec{c} = (-1; -3; z)$

Вычислим координаты вектора $\vec{d} = (x_d; y_d; z_d)$:

$x_d = -2 + 3 - (-1) = -2 + 3 + 1 = 2$

$y_d = 4 + (-1) - (-3) = 4 - 1 + 3 = 6$

$z_d = 1 + 4 - z = 5 - z$

Таким образом, вектор $\vec{d}$ имеет координаты $(2; 6; 5 - z)$.

Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{d}$. Модуль вектора с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{d}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

$|\vec{d}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (5 - z)^2}$

$|\vec{d}| = \sqrt{4 + 36 + (5 - z)^2}$

$|\vec{d}| = \sqrt{40 + (5 - z)^2}$

Нам нужно найти наименьшее значение этого выражения. Значение выражения $\sqrt{40 + (5 - z)^2}$ будет наименьшим, когда подкоренное выражение $40 + (5 - z)^2$ будет наименьшим.

Выражение $(5 - z)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его наименьшее возможное значение равно 0. Это достигается при условии $5 - z = 0$, то есть $z = 5$.

Подставим это минимальное значение в выражение для модуля:

$|\vec{d}|_{min} = \sqrt{40 + 0} = \sqrt{40}$

Упростим полученный результат:

$\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$

Таким образом, наименьшее значение модуля вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ равно $2\sqrt{10}$.

Ответ: $2\sqrt{10}$

45. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите все векторы, противоположные вектору:

1) $\vec{C_1C}$;

2) $\vec{AB_1}$;

3) $\vec{BD_1}$;

началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда.

45. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите все векторы, противоположные вектору:

1) $\vec{C_1C}$;

2) $\vec{AB_1}$;

3) $\vec{BD_1}$, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда.

1) $\overrightarrow{C_{1}C}$;

Противоположным вектору $\overrightarrow{C_{1}C}$ является вектор $\overrightarrow{CC_{1}}$. Векторы, равные вектору $\overrightarrow{CC_{1}}$, соответствуют боковым ребрам параллелепипеда, направленным из нижнего основания $ABCD$ в верхнее $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. В параллелепипеде боковые ребра параллельны и равны, поэтому векторы, направленные в одну сторону вдоль них, равны. Такими векторами являются $\overrightarrow{AA_{1}}$, $\overrightarrow{BB_{1}}$ и $\overrightarrow{DD_{1}}$. Таким образом, все векторы, противоположные вектору $\overrightarrow{C_{1}C}$, это $\overrightarrow{CC_{1}}, \overrightarrow{AA_{1}}, \overrightarrow{BB_{1}}, \overrightarrow{DD_{1}}$.
Ответ: $\overrightarrow{CC_{1}}, \overrightarrow{AA_{1}}, \overrightarrow{BB_{1}}, \overrightarrow{DD_{1}}$.

2) $\overrightarrow{AB_{1}}$;

Противоположным вектору $\overrightarrow{AB_{1}}$ является вектор $\overrightarrow{B_{1}A}$. Вектор $\overrightarrow{AB_{1}}$ — это диагональ боковой грани $ABB_{1}A_{1}$. В параллелепипеде противоположные грани ($ABB_{1}A_{1}$ и $DCC_{1}D_{1}$) параллельны и равны, поэтому равны и их соответствующие диагонали, направленные в одну сторону: $\overrightarrow{AB_{1}} = \overrightarrow{DC_{1}}$. Следовательно, равны и противоположные им векторы: $\overrightarrow{B_{1}A} = \overrightarrow{C_{1}D}$. Это все векторы, противоположные $\overrightarrow{AB_{1}}$.
Ответ: $\overrightarrow{B_{1}A}, \overrightarrow{C_{1}D}$.

3) $\overrightarrow{BD_{1}}$,

Противоположным вектору $\overrightarrow{BD_{1}}$ является вектор $\overrightarrow{D_{1}B}$. Данный вектор является пространственной диагональю параллелепипеда. Среди векторов, которые можно построить на вершинах параллелепипеда, не существует другого вектора, равного вектору $\overrightarrow{D_{1}B}$. Таким образом, искомый вектор единственный.
Ответ: $\overrightarrow{D_{1}B}$.

46. Укажите координаты вектора, противоположного вектору $\vec{b} (-17; -1; 23)$.

46. Укажите координаты вектора, противоположного вектору $\vec{b} (-17; -1; 23)$.

Противоположным вектором для вектора $\vec{a}(x; y; z)$ является вектор $-\vec{a}$, координаты которого равны координатам исходного вектора, взятым с противоположным знаком, то есть $-\vec{a}(-x; -y; -z)$. Это следует из определения, так как сумма вектора и противоположного ему вектора должна давать нулевой вектор: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.

В задаче дан вектор $\vec{b}$ с координатами $(-17; -1; 23)$.

Чтобы найти координаты вектора, противоположного вектору $\vec{b}$, необходимо умножить каждую из его координат на $-1$ (или, что то же самое, изменить их знак на противоположный).

Выполним вычисления для каждой координаты:

• Первая координата: $-(-17) = 17$
• Вторая координата: $-(-1) = 1$
• Третья координата: $-(23) = -23$

Таким образом, искомый вектор, противоположный вектору $\vec{b}$, имеет координаты $(17; 1; -23)$.

Ответ: $(17; 1; -23)$

47. Упростите выражение:

1) $\vec{MK} + \vec{EF} + \vec{FD} + \vec{NP} + \vec{KN} + \vec{DE};$

2) $\vec{AB} + \vec{DE} - \vec{DF} - \vec{AC} - \vec{FB}.$

47. Упростите выражение:

1) $\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{KN} + \overrightarrow{DE};$

2) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DE} - \overrightarrow{DF} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{FB}.$

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника), которое гласит, что для любых трех точек X, Y, Z справедливо равенство $ \vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ} $. Перегруппируем слагаемые в исходном выражении $ \vec{MK} + \vec{EF} + \vec{FD} + \vec{NP} + \vec{KN} + \vec{DE} $, чтобы можно было последовательно применить это правило.

Сгруппируем векторы так, чтобы конец одного вектора совпадал с началом следующего:

$ (\vec{DE} + \vec{EF} + \vec{FD}) + (\vec{MK} + \vec{KN} + \vec{NP}) $

Рассмотрим первую группу $ (\vec{DE} + \vec{EF}) + \vec{FD} $. По правилу треугольника $ \vec{DE} + \vec{EF} = \vec{DF} $. Тогда получаем: $ \vec{DF} + \vec{FD} $. Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору: $ \vec{DF} + \vec{FD} = \vec{DD} = \vec{0} $.

Рассмотрим вторую группу $ (\vec{MK} + \vec{KN}) + \vec{NP} $. По правилу треугольника $ \vec{MK} + \vec{KN} = \vec{MN} $. Тогда получаем: $ \vec{MN} + \vec{NP} $. Применив правило еще раз, находим: $ \vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP} $.

Теперь сложим результаты, полученные для каждой группы:

$ \vec{0} + \vec{MP} = \vec{MP} $

Ответ: $ \vec{MP} $

2) Для упрощения второго выражения $ \vec{AB} + \vec{DE} - \vec{DF} - \vec{AC} - \vec{FB} $ сначала воспользуемся свойством вычитания векторов: вычитание вектора равносильно прибавлению противоположного ему вектора, то есть $ -\vec{XY} = \vec{YX} $.

Применив это свойство, преобразуем выражение:

$ \vec{AB} + \vec{DE} - \vec{DF} - \vec{AC} - \vec{FB} = \vec{AB} + \vec{DE} + \vec{FD} + \vec{CA} + \vec{BF} $

Теперь, как и в первом пункте, перегруппируем слагаемые для применения правила треугольника:

$ (\vec{CA} + \vec{AB}) + \vec{BF} + (\vec{FD} + \vec{DE}) $

Последовательно складываем векторы в группах:

1. $ \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB} $

2. $ \vec{FD} + \vec{DE} = \vec{FE} $

Подставим полученные векторы обратно в выражение:

$ \vec{CB} + \vec{BF} + \vec{FE} $

Продолжим сложение:

$ (\vec{CB} + \vec{BF}) + \vec{FE} = \vec{CF} + \vec{FE} $

И последний шаг:

$ \vec{CF} + \vec{FE} = \vec{CE} $

Ответ: $ \vec{CE} $

48. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов $\overrightarrow{A_1 C_1} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}$.

48. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов $\overrightarrow{A_1C_1} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}$.

49. Основанием пирамиды $MABCD$ является ромб $ABCD$, $AC = 24 \text{ см}$, $BD = 10 \text{ см}$. Найдите модуль вектора $\vec{m} = \vec{MA} - \vec{MC} - \vec{CD}$.

49. Основанием пирамиды $MABCD$ является ромб $ABCD$, $AC = 24$ см, $BD = 10$ см. Найдите модуль вектора $\vec{m} = \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MC} - \overrightarrow{CD}$.

Для нахождения модуля вектора $\vec{m}$ необходимо сначала упростить данное векторное выражение $\vec{m} = \vec{MA} - \vec{MC} - \vec{CD}$.

Воспользуемся правилом вычитания векторов. Разность векторов $\vec{MA}$ и $\vec{MC}$ с общим началом в точке M равна вектору $\vec{CA}$, соединяющему их концы. Таким образом, $\vec{MA} - \vec{MC} = \vec{CA}$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$\vec{m} = \vec{CA} - \vec{CD}$

Аналогично, разность векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CD}$ с общим началом в точке C равна вектору $\vec{DA}$.

$\vec{m} = \vec{DA}$

Таким образом, модуль вектора $\vec{m}$ равен длине вектора $\vec{DA}$, то есть длине стороны ромба $ABCD$.

Чтобы найти длину стороны ромба, воспользуемся свойствами его диагоналей. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть точка $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOD$. Его катеты $AO$ и $DO$ равны половинам длин диагоналей:

$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см

$DO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AD$, которая является стороной ромба:

$AD^2 = AO^2 + DO^2$

$AD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$

$AD = \sqrt{169} = 13$ см

Следовательно, модуль вектора $\vec{m}$ равен длине стороны $AD$.

$|\vec{m}| = |\vec{DA}| = AD = 13$ см.

Ответ: 13 см.

50. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{B_1C}$ через векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC_1}$.

50. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{B_1C}$ через векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC_1}$.

Для решения задачи представим искомый вектор $\vec{B_1C}$ в виде суммы (разности) других векторов, следуя по ребрам и диагоналям параллелепипеда. Воспользуемся правилом разности векторов, выходящих из одной точки:

$\vec{B_1C} = \vec{AC} - \vec{AB_1}$

Это не совсем так, так как правило разности $\vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX}$. Лучше использовать правило треугольника. Представим вектор $\vec{B_1C}$ как путь из точки $B_1$ в точку $C$:

$\vec{B_1C} = \vec{B_1A} + \vec{AC}$

Теперь нам нужно выразить векторы $\vec{B_1A}$ и $\vec{AC}$ через заданные в условии векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC_1}$.

1. Выразим вектор $\vec{B_1A}$. По правилу треугольника для векторов $\vec{AA_1}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{B_1A}$ в треугольнике $AA_1B_1$ имеем:

$\vec{AB_1} = \vec{AA_1} + \vec{A_1B_1}$

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, то $\vec{A_1B_1} = \vec{AB}$. Вектор $\vec{B_1A}$ можно представить как $\vec{B_1A_1} + \vec{A_1A}$.

Рассмотрим контур $A \to B_1 \to A_1 \to A$:

$\vec{AB_1} + \vec{B_1A_1} + \vec{A_1A} = \vec{0}$

$\vec{AB_1} - \vec{A_1B_1} - \vec{AA_1} = \vec{0}$

$\vec{AB_1} - \vec{AB} - \vec{AA_1} = \vec{0}$

Рассмотрим вектор $\vec{B_1A} = \vec{BA} + \vec{BB_1} = -\vec{AB} + \vec{AA_1}$.

Из выражения $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1}$ следует, что $\vec{AB} = \vec{AB_1} - \vec{AA_1}$.

Тогда $\vec{B_1A} = -(\vec{AB_1} - \vec{AA_1}) + \vec{AA_1} = -\vec{AB_1} + 2\vec{AA_1}$. Это неверный путь, он усложняет задачу. Попробуем иначе.

Представим искомый вектор $\vec{B_1C}$ через векторы с общим началом в точке A:

$\vec{B_1C} = \vec{AC} - \vec{AB_1}$

Теперь необходимо выразить $\vec{AC}$ через заданные векторы. Рассмотрим диагональ параллелепипеда $\vec{AC_1}$. По правилу параллелепипеда:

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

По правилу параллелограмма для основания $ABCD$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Из этих двух равенств следует:

$\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{AA_1}$, откуда $\vec{AC} = \vec{AC_1} - \vec{AA_1}$.

Теперь подставим полученное выражение для $\vec{AC}$ в формулу для $\vec{B_1C}$:

$\vec{B_1C} = (\vec{AC_1} - \vec{AA_1}) - \vec{AB_1}$

$\vec{B_1C} = \vec{AC_1} - \vec{AA_1} - \vec{AB_1}$

Мы выразили искомый вектор через три заданных вектора.

Ответ: $\vec{B_1C} = \vec{AC_1} - \vec{AA_1} - \vec{AB_1}$.