Номер 47, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Упростите выражение:

1) $\vec{MK} + \vec{EF} + \vec{FD} + \vec{NP} + \vec{KN} + \vec{DE};$

2) $\vec{AB} + \vec{DE} - \vec{DF} - \vec{AC} - \vec{FB}.$

47. Упростите выражение:

1) $\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{KN} + \overrightarrow{DE};$

2) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DE} - \overrightarrow{DF} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{FB}.$

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника), которое гласит, что для любых трех точек X, Y, Z справедливо равенство $ \vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ} $. Перегруппируем слагаемые в исходном выражении $ \vec{MK} + \vec{EF} + \vec{FD} + \vec{NP} + \vec{KN} + \vec{DE} $, чтобы можно было последовательно применить это правило.

Сгруппируем векторы так, чтобы конец одного вектора совпадал с началом следующего:

$ (\vec{DE} + \vec{EF} + \vec{FD}) + (\vec{MK} + \vec{KN} + \vec{NP}) $

Рассмотрим первую группу $ (\vec{DE} + \vec{EF}) + \vec{FD} $. По правилу треугольника $ \vec{DE} + \vec{EF} = \vec{DF} $. Тогда получаем: $ \vec{DF} + \vec{FD} $. Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору: $ \vec{DF} + \vec{FD} = \vec{DD} = \vec{0} $.

Рассмотрим вторую группу $ (\vec{MK} + \vec{KN}) + \vec{NP} $. По правилу треугольника $ \vec{MK} + \vec{KN} = \vec{MN} $. Тогда получаем: $ \vec{MN} + \vec{NP} $. Применив правило еще раз, находим: $ \vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP} $.

Теперь сложим результаты, полученные для каждой группы:

$ \vec{0} + \vec{MP} = \vec{MP} $

Ответ: $ \vec{MP} $

2) Для упрощения второго выражения $ \vec{AB} + \vec{DE} - \vec{DF} - \vec{AC} - \vec{FB} $ сначала воспользуемся свойством вычитания векторов: вычитание вектора равносильно прибавлению противоположного ему вектора, то есть $ -\vec{XY} = \vec{YX} $.

Применив это свойство, преобразуем выражение:

$ \vec{AB} + \vec{DE} - \vec{DF} - \vec{AC} - \vec{FB} = \vec{AB} + \vec{DE} + \vec{FD} + \vec{CA} + \vec{BF} $

Теперь, как и в первом пункте, перегруппируем слагаемые для применения правила треугольника:

$ (\vec{CA} + \vec{AB}) + \vec{BF} + (\vec{FD} + \vec{DE}) $

Последовательно складываем векторы в группах:

1. $ \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB} $

2. $ \vec{FD} + \vec{DE} = \vec{FE} $

Подставим полученные векторы обратно в выражение:

$ \vec{CB} + \vec{BF} + \vec{FE} $

Продолжим сложение:

$ (\vec{CB} + \vec{BF}) + \vec{FE} = \vec{CF} + \vec{FE} $

И последний шаг:

$ \vec{CF} + \vec{FE} = \vec{CE} $

Ответ: $ \vec{CE} $