Номер 49, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. Основанием пирамиды $MABCD$ является ромб $ABCD$, $AC = 24 \text{ см}$, $BD = 10 \text{ см}$. Найдите модуль вектора $\vec{m} = \vec{MA} - \vec{MC} - \vec{CD}$.

49. Основанием пирамиды $MABCD$ является ромб $ABCD$, $AC = 24$ см, $BD = 10$ см. Найдите модуль вектора $\vec{m} = \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MC} - \overrightarrow{CD}$.

Для нахождения модуля вектора $\vec{m}$ необходимо сначала упростить данное векторное выражение $\vec{m} = \vec{MA} - \vec{MC} - \vec{CD}$.

Воспользуемся правилом вычитания векторов. Разность векторов $\vec{MA}$ и $\vec{MC}$ с общим началом в точке M равна вектору $\vec{CA}$, соединяющему их концы. Таким образом, $\vec{MA} - \vec{MC} = \vec{CA}$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$\vec{m} = \vec{CA} - \vec{CD}$

Аналогично, разность векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CD}$ с общим началом в точке C равна вектору $\vec{DA}$.

$\vec{m} = \vec{DA}$

Таким образом, модуль вектора $\vec{m}$ равен длине вектора $\vec{DA}$, то есть длине стороны ромба $ABCD$.

Чтобы найти длину стороны ромба, воспользуемся свойствами его диагоналей. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть точка $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOD$. Его катеты $AO$ и $DO$ равны половинам длин диагоналей:

$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см

$DO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AD$, которая является стороной ромба:

$AD^2 = AO^2 + DO^2$

$AD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$

$AD = \sqrt{169} = 13$ см

Следовательно, модуль вектора $\vec{m}$ равен длине стороны $AD$.

$|\vec{m}| = |\vec{DA}| = AD = 13$ см.

Ответ: 13 см.