Номер 45, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите все векторы, противоположные вектору:

1) $\vec{C_1C}$;

2) $\vec{AB_1}$;

3) $\vec{BD_1}$;

началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда.

45. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите все векторы, противоположные вектору:

1) $\vec{C_1C}$;

2) $\vec{AB_1}$;

3) $\vec{BD_1}$, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда.

1) $\overrightarrow{C_{1}C}$;

Противоположным вектору $\overrightarrow{C_{1}C}$ является вектор $\overrightarrow{CC_{1}}$. Векторы, равные вектору $\overrightarrow{CC_{1}}$, соответствуют боковым ребрам параллелепипеда, направленным из нижнего основания $ABCD$ в верхнее $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. В параллелепипеде боковые ребра параллельны и равны, поэтому векторы, направленные в одну сторону вдоль них, равны. Такими векторами являются $\overrightarrow{AA_{1}}$, $\overrightarrow{BB_{1}}$ и $\overrightarrow{DD_{1}}$. Таким образом, все векторы, противоположные вектору $\overrightarrow{C_{1}C}$, это $\overrightarrow{CC_{1}}, \overrightarrow{AA_{1}}, \overrightarrow{BB_{1}}, \overrightarrow{DD_{1}}$.
Ответ: $\overrightarrow{CC_{1}}, \overrightarrow{AA_{1}}, \overrightarrow{BB_{1}}, \overrightarrow{DD_{1}}$.

2) $\overrightarrow{AB_{1}}$;

Противоположным вектору $\overrightarrow{AB_{1}}$ является вектор $\overrightarrow{B_{1}A}$. Вектор $\overrightarrow{AB_{1}}$ — это диагональ боковой грани $ABB_{1}A_{1}$. В параллелепипеде противоположные грани ($ABB_{1}A_{1}$ и $DCC_{1}D_{1}$) параллельны и равны, поэтому равны и их соответствующие диагонали, направленные в одну сторону: $\overrightarrow{AB_{1}} = \overrightarrow{DC_{1}}$. Следовательно, равны и противоположные им векторы: $\overrightarrow{B_{1}A} = \overrightarrow{C_{1}D}$. Это все векторы, противоположные $\overrightarrow{AB_{1}}$.
Ответ: $\overrightarrow{B_{1}A}, \overrightarrow{C_{1}D}$.

3) $\overrightarrow{BD_{1}}$,

Противоположным вектору $\overrightarrow{BD_{1}}$ является вектор $\overrightarrow{D_{1}B}$. Данный вектор является пространственной диагональю параллелепипеда. Среди векторов, которые можно построить на вершинах параллелепипеда, не существует другого вектора, равного вектору $\overrightarrow{D_{1}B}$. Таким образом, искомый вектор единственный.
Ответ: $\overrightarrow{D_{1}B}$.