Номер 41, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите разность векторов:

1) $\vec{A_1D}$ и $\vec{BC}$;

2) $\vec{DB_1}$ и $\vec{CC_1}$.

41. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите разность векторов:

1) $\vec{A_1D}$ и $\vec{BC}$;

2) $\vec{DB_1}$ и $\vec{CC_1}$.

1)

Чтобы найти разность векторов $\vec{A_1D} - \vec{BC}$, воспользуемся свойствами куба. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грани являются квадратами, а соответствующие ребра параллельны и равны. Векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным отрезкам, равны. В частности, для граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ векторы $\vec{BC}$ и $\vec{A_1D_1}$ равны, так как они сонаправлены (оба параллельны оси, перпендикулярной граням $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$) и их длины равны ребру куба.

Следовательно, мы можем заменить вектор $\vec{BC}$ на равный ему вектор $\vec{A_1D_1}$:
$ \vec{A_1D} - \vec{BC} = \vec{A_1D} - \vec{A_1D_1} $

Разность двух векторов, отложенных от одной точки, представляет собой вектор, соединяющий их концы. Этот вектор направлен от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого вектора. По правилу вычитания векторов:
$ \vec{A_1D} - \vec{A_1D_1} = \vec{D_1D} $

Ответ: $ \vec{D_1D} $

2)

Чтобы найти разность векторов $\vec{DB_1} - \vec{CC_1}$, также используем свойства куба. Боковые ребра куба параллельны и равны, поэтому соответствующие им векторы равны: $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.

Заменим в выражении вектор $\vec{CC_1}$ на равный ему вектор $\vec{DD_1}$. Это позволит нам привести векторы к общему началу в точке $D$:
$ \vec{DB_1} - \vec{CC_1} = \vec{DB_1} - \vec{DD_1} $

Применяя правило вычитания векторов, исходящих из одной точки, получаем:
$ \vec{DB_1} - \vec{DD_1} = \vec{D_1B_1} $

Заметим, что $DBB_1D_1$ — это прямоугольник (диагональное сечение куба), поэтому вектор $\vec{D_1B_1}$ также равен вектору $\vec{DB}$. Оба ответа являются верными.

Ответ: $ \vec{D_1B_1} $