Номер 34, страница 43 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. Модуль вектора $\vec{n} (x; y; z)$ равен $3\sqrt{3}$, его координаты x и y равны, а координаты x и z — противоположные числа. Найдите координаты вектора $\vec{n}$.

34. Модуль вектора $\vec{n} (x; y; z)$ равен $3\sqrt{3}$, его координаты $x$ и $y$ равны, а координаты $x$ и $z$ — противоположные числа. Найдите координаты вектора $\vec{n}$.

Пусть вектор $\vec{n}$ имеет координаты $(x; y; z)$.

Исходя из условий задачи, мы можем установить следующие соотношения между координатами:

1. Координаты $x$ и $y$ равны, следовательно, $y = x$.

2. Координаты $x$ и $z$ — противоположные числа, следовательно, $z = -x$.

Таким образом, координаты вектора $\vec{n}$ можно выразить через одну переменную $x$: $(x; x; -x)$.

Модуль (или длина) вектора $\vec{n}$ с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле:

$|\vec{n}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Подставим в эту формулу выражения для $y$ и $z$ через $x$, а также данное в условии значение модуля $|\vec{n}| = 3\sqrt{3}$:

$3\sqrt{3} = \sqrt{x^2 + (x)^2 + (-x)^2}$

Упростим выражение под корнем:

$3\sqrt{3} = \sqrt{x^2 + x^2 + x^2} = \sqrt{3x^2}$

Для решения полученного уравнения возведем обе его части в квадрат:

$(3\sqrt{3})^2 = (\sqrt{3x^2})^2$

$9 \cdot 3 = 3x^2$

$27 = 3x^2$

Разделим обе части на 3:

$x^2 = 9$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Теперь найдем полные координаты вектора для каждого из найденных значений $x$:

1. Если $x = 3$, то $y = 3$ и $z = -3$. Координаты вектора: $(3; 3; -3)$.

2. Если $x = -3$, то $y = -3$ и $z = -(-3) = 3$. Координаты вектора: $(-3; -3; 3)$.

Ответ: Координаты вектора $\vec{n}$ равны $(3; 3; -3)$ или $(-3; -3; 3)$.