Номер 28, страница 42 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. Даны точки $M (-3; 2; z)$, $N (4; -6; 3)$, $E (2; y; -15)$ и $K (x; 1; -10)$. При каких значениях $x, y$ и $z$ верно равенство $\vec{MN} = \vec{EK}$?

28. Даны точки $M(-3; 2; z)$, $N(4; -6; 3)$, $E(2; y; -15)$ и $K(x; 1; -10)$. При каких значениях $x, y$ и $z$ верно равенство $\vec{MN} = \vec{EK}$?

Для того чтобы равенство векторов $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{EK}$ было верным, их соответствующие координаты должны быть равны.

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{MN}$, зная координаты его начальной точки $M(-3; 2; z)$ и конечной точки $N(4; -6; 3)$. Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора.

$\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M) = (4 - (-3); -6 - 2; 3 - z) = (7; -8; 3 - z)$

Теперь найдем координаты вектора $\overrightarrow{EK}$ с начальной точкой $E(2; y; -15)$ и конечной точкой $K(x; 1; -10)$.

$\overrightarrow{EK} = (x_K - x_E; y_K - y_E; z_K - z_E) = (x - 2; 1 - y; -10 - (-15)) = (x - 2; 1 - y; 5)$

Приравняем соответствующие координаты векторов $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{EK}$, чтобы удовлетворить условию $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{EK}$. Это дает нам систему из трех уравнений:

$\begin{cases} 7 = x - 2 \\ -8 = 1 - y \\ 3 - z = 5 \end{cases}$

Решим каждое уравнение системы, чтобы найти неизвестные значения $x$, $y$ и $z$.

Из первого уравнения находим $x$:

$7 = x - 2$

$x = 7 + 2$

$x = 9$

Из второго уравнения находим $y$:

$-8 = 1 - y$

$y = 1 - (-8)$

$y = 1 + 8$

$y = 9$

Из третьего уравнения находим $z$:

$3 - z = 5$

$-z = 5 - 3$

$-z = 2$

$z = -2$

Таким образом, равенство векторов верно при $x=9$, $y=9$ и $z=-2$.

Ответ: $x=9, y=9, z=-2$.