Страница 42 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Точки $A(3; -8; 6)$ и $B$ симметричны относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $xy$.

Найдите отрезок $AB$.

21. Точки $A (3; -8; 6)$ и $B$ симметричны относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $xy$.

Найдите отрезок $AB$.

1)

Дана точка $A(3; -8; 6)$. Точка $B$ симметрична точке $A$ относительно начала координат $O(0; 0; 0)$. При симметрии относительно начала координат каждая координата точки меняет свой знак на противоположный. Если координаты точки $A$ равны $(x; y; z)$, то координаты симметричной ей точки $B$ будут $(-x; -y; -z)$. Следовательно, координаты точки $B$ равны $(-3; -(-8); -6)$, то есть $B(-3; 8; -6)$.

Длину отрезка $AB$ найдем по формуле расстояния между двумя точками в пространстве: $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Подставим координаты точек $A(3; -8; 6)$ и $B(-3; 8; -6)$: $|AB| = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (8 - (-8))^2 + (-6 - 6)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (16)^2 + (-12)^2}$

$|AB| = \sqrt{36 + 256 + 144} = \sqrt{436}$

Упростим корень: $\sqrt{436} = \sqrt{4 \cdot 109} = 2\sqrt{109}$.

Ответ: $2\sqrt{109}$

2)

Дана точка $A(3; -8; 6)$. Точка $B$ симметрична точке $A$ относительно плоскости $xy$. При симметрии относительно плоскости $xy$ координаты $x$ и $y$ точки остаются неизменными, а координата $z$ меняет свой знак на противоположный. Если координаты точки $A$ равны $(x; y; z)$, то координаты симметричной ей точки $B$ будут $(x; y; -z)$. Следовательно, координаты точки $B$ равны $(3; -8; -6)$.

Найдем длину отрезка $AB$ по той же формуле расстояния между двумя точками: $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Подставим координаты точек $A(3; -8; 6)$ и $B(3; -8; -6)$: $|AB| = \sqrt{(3 - 3)^2 + (-8 - (-8))^2 + (-6 - 6)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-12)^2}$

$|AB| = \sqrt{144} = 12$

Ответ: $12$

22. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-1; 5; 3)$, $B(-3; 7; -5)$, $C(3; 1; -5)$ и $D(5; -1; 3)$ является ромбом.

22. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-1; 5; 3)$, $B (-3; 7; -5)$, $C (3; 1; -5)$ и $D (5; -1; 3)$ является ромбом.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом, необходимо и достаточно показать, что длины всех его сторон равны.

Найдем длины сторон, используя формулу расстояния между двумя точками $P_1(x_1; y_1; z_1)$ и $P_2(x_2; y_2; z_2)$ в трехмерном пространстве:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Координаты вершин четырехугольника:

$A(-1; 5; 3)$

$B(-3; 7; -5)$

$C(3; 1; -5)$

$D(5; -1; 3)$

1. Вычислим длину стороны AB:

$|AB| = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (7 - 5)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 4 + 64} = \sqrt{72}$

2. Вычислим длину стороны BC:

$|BC| = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (1 - 7)^2 + (-5 - (-5))^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 36 + 0} = \sqrt{72}$

3. Вычислим длину стороны CD:

$|CD| = \sqrt{(5 - 3)^2 + (-1 - 1)^2 + (3 - (-5))^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 4 + 64} = \sqrt{72}$

4. Вычислим длину стороны DA:

$|DA| = \sqrt{(-1 - 5)^2 + (5 - (-1))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 36 + 0} = \sqrt{72}$

Поскольку все стороны четырехугольника имеют одинаковую длину $|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = \sqrt{72}$, то по определению четырехугольник ABCD является ромбом, что и требовалось доказать.

Ответ: Длины всех сторон четырехугольника ABCD равны $\sqrt{72}$, следовательно, он является ромбом.

23. Докажите, что точки $A (5; 6; 7)$, $B (-1; -1; -4)$ и $C (11; 13; 18)$ лежат на одной прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими?

23. Докажите, что точки $A (5; 6; 7)$, $B (-1; -1; -4)$ и $C (11; 13; 18)$ лежат на одной прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими?

Докажите, что точки A (5; 6; 7), B (-1; -1; -4) и C (11; 13; 18) лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что три точки лежат на одной прямой, достаточно показать, что векторы, образованные этими точками (например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$), коллинеарны. Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

1. Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала.
Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке A(5; 6; 7) и концом в точке B(-1; -1; -4):
$\vec{AB} = (-1 - 5; -1 - 6; -4 - 7) = (-6; -7; -11)$.
Для вектора $\vec{AC}$ с началом в точке A(5; 6; 7) и концом в точке C(11; 13; 18):
$\vec{AC} = (11 - 5; 13 - 6; 18 - 7) = (6; 7; 11)$.

2. Проверим пропорциональность координат векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Для этого найдем отношение их соответствующих координат:
$\frac{x_{AC}}{x_{AB}} = \frac{6}{-6} = -1$
$\frac{y_{AC}}{y_{AB}} = \frac{7}{-7} = -1$
$\frac{z_{AC}}{z_{AB}} = \frac{11}{-11} = -1$

Так как отношение для всех пар координат одинаково и равно -1, то векторы коллинеарны, и выполняется соотношение $\vec{AC} = -1 \cdot \vec{AB}$. Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны и имеют общую точку A, то все три точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: Точки A, B и C лежат на одной прямой, так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны.

Какая из этих точек лежит между двумя другими?

Чтобы определить, какая из точек лежит между двумя другими, можно использовать два способа.

Способ 1: Анализ векторов.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $\vec{AC} = -\vec{AB}$. Это равенство означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ имеют одинаковую длину (модуль) и направлены в противоположные стороны. Если из одной точки (A) выходят два противоположно направленных вектора, то эта точка (A) лежит между концами этих векторов (B и C).

Способ 2: Сравнение расстояний между точками.
Если точки лежат на одной прямой, то длина самого большого отрезка равна сумме длин двух других. Найдем длины отрезков AB, AC и BC. Длина отрезка равна модулю соответствующего вектора: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
$|AB| = |\vec{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + (-7)^2 + (-11)^2} = \sqrt{36 + 49 + 121} = \sqrt{206}$.
$|AC| = |\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 7^2 + 11^2} = \sqrt{36 + 49 + 121} = \sqrt{206}$.
Найдем вектор $\vec{BC}$:
$\vec{BC} = (11 - (-1); 13 - (-1); 18 - (-4)) = (12; 14; 22)$.
$|BC| = |\vec{BC}| = \sqrt{12^2 + 14^2 + 22^2} = \sqrt{144 + 196 + 484} = \sqrt{824} = \sqrt{4 \cdot 206} = 2\sqrt{206}$.

Теперь сравним длины отрезков:
$|AB| + |AC| = \sqrt{206} + \sqrt{206} = 2\sqrt{206}$.
Получили, что $|AB| + |AC| = |BC|$. Это равенство подтверждает, что точка A лежит между точками B и C.

Ответ: Точка A лежит между точками B и C.

24. На рисунке 13 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Верно ли утверждение:

1) $\vec{A_1D_1} \parallel \vec{CB}$;
2) $\vec{A_1D_1} \uparrow\uparrow \vec{DA}$;
3) $\vec{A_1D_1} \uparrow\uparrow \vec{BC}$;
4) $\vec{A_1D_1} \uparrow\downarrow \vec{C_1B_1}$;
5) $|\vec{AB_1}| = |\vec{D_1C}|$;

6) $\vec{A_1D_1} = \vec{D_1C_1}$;
7) $\vec{A_1D_1} = \vec{D_1A_1}$;
8) $\vec{A_1D_1} = \vec{BC}$;
9) $\vec{B_1C} = \vec{A_1D}$?

Рис. 13

24. На рисунке 13 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Верно ли утверждение:

Рис. 13

1) $\vec{A_1D_1} \parallel \vec{CB};$

2) $\vec{A_1D_1} \uparrow\uparrow \vec{DA};$

3) $\vec{A_1D_1} \uparrow\uparrow \vec{BC};$

4) $\vec{A_1D_1} \uparrow\downarrow \vec{C_1B_1};$

5) $|\vec{AB_1}| = |\vec{D_1C}|;$

6) $\vec{A_1D_1} = \vec{D_1C_1};$

7) $\vec{A_1D_1} = \vec{D_1A_1};$

8) $\vec{A_1D_1} = \vec{BC};$

9) $\vec{B_1C} = \vec{A_1D}?$

1) $\overrightarrow{A_1D_1} \parallel \overrightarrow{CB}$

Векторы называются коллинеарными (параллельными), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Прямая $A_1D_1$ параллельна прямой $AD$ (как противоположные стороны грани $ADD_1A_1$). Прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ (как противоположные стороны грани $ABCD$). Следовательно, по свойству транзитивности, прямая $A_1D_1$ параллельна прямой $BC$. Вектор $\overrightarrow{A_1D_1}$ лежит на прямой $A_1D_1$, а вектор $\overrightarrow{CB}$ лежит на прямой $BC$. Так как эти прямые параллельны, векторы являются коллинеарными. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

2) $\overrightarrow{A_1D_1} \uparrow\uparrow \overrightarrow{DA}$

Векторы называются сонаправленными, если они коллинеарны и направлены в одну сторону. Как мы выяснили, прямые $A_1D_1$ и $AD$ (на которой лежит вектор $\overrightarrow{DA}$) параллельны, значит векторы коллинеарны. Вектор $\overrightarrow{A_1D_1}$ сонаправлен вектору $\overrightarrow{AD}$ (так как $ADD_1A_1$ - грань, и перемещение от $A_1$ к $D_1$ аналогично перемещению от $A$ к $D$). Вектор $\overrightarrow{DA}$ имеет направление, противоположное направлению вектора $\overrightarrow{AD}$. Следовательно, векторы $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{DA}$ направлены в противоположные стороны. Утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

3) $\overrightarrow{A_1D_1} \uparrow\uparrow \overrightarrow{BC}$

Векторы $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{BC}$ коллинеарны (см. пункт 1). Вектор $\overrightarrow{A_1D_1}$ сонаправлен вектору $\overrightarrow{AD}$. Вектор $\overrightarrow{BC}$ также сонаправлен вектору $\overrightarrow{AD}$ (как векторы на противоположных сторонах грани $ABCD$). Так как оба вектора, $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{BC}$, сонаправлены одному и тому же вектору $\overrightarrow{AD}$, они сонаправлены между собой. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

4) $\overrightarrow{A_1D_1} \uparrow\downarrow \overrightarrow{C_1B_1}$

Векторы называются противоположно направленными, если они коллинеарны и направлены в разные стороны. Векторы $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{C_1B_1}$ лежат на параллельных прямых, так как $A_1D_1$ и $C_1B_1$ - противоположные ребра грани $A_1B_1C_1D_1$. Вектор $\overrightarrow{A_1D_1}$ сонаправлен вектору $\overrightarrow{B_1C_1}$. Вектор $\overrightarrow{C_1B_1}$ противоположен вектору $\overrightarrow{B_1C_1}$. Следовательно, векторы $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{C_1B_1}$ являются противоположно направленными. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

5) $|\overrightarrow{AB_1}| = |\overrightarrow{D_1C}|$

Модуль вектора - это его длина. $|\overrightarrow{AB_1}|$ - это длина отрезка $AB_1$, который является диагональю грани $ABB_1A_1$. $|\overrightarrow{D_1C}|$ - это длина отрезка $D_1C$, который является диагональю грани $DCC_1D_1$. Все грани куба - равные квадраты. Следовательно, их диагонали равны. Если ребро куба равно $a$, то длина диагонали грани равна $\sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. Таким образом, длины векторов равны. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

6) $\overrightarrow{A_1D_1} = \overrightarrow{D_1C_1}$

Векторы равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Векторы $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{D_1C_1}$ представляют собой смежные ребра грани-квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Они перпендикулярны друг другу, следовательно, не являются сонаправленными (и даже не коллинеарными). Поэтому они не могут быть равны. Утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

7) $\overrightarrow{A_1D_1} = \overrightarrow{D_1A_1}$

Векторы $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{D_1A_1}$ имеют одинаковую длину (равную длине ребра куба), но их направления противоположны. Равными они быть не могут, так как $\overrightarrow{D_1A_1} = -\overrightarrow{A_1D_1}$, а ненулевой вектор не равен своему противоположному вектору. Утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

8) $\overrightarrow{A_1D_1} = \overrightarrow{BC}$

Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны. Длины векторов $|\overrightarrow{A_1D_1}|$ и $|\overrightarrow{BC}|$ равны, так как это длины ребер куба. В пункте 3 было установлено, что векторы $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{BC}$ сонаправлены. Так как оба условия выполняются, векторы равны. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

9) $\overrightarrow{B_1C} = \overrightarrow{A_1D}$?

Чтобы проверить равенство векторов $\overrightarrow{B_1C}$ и $\overrightarrow{A_1D}$, рассмотрим четырехугольник $A_1B_1CD$. Его противоположные стороны $A_1B_1$ и $DC$ являются ребрами куба, они параллельны и равны по длине. Векторы $\overrightarrow{A_1B_1}$ и $\overrightarrow{DC}$ сонаправлены. Следовательно, $\overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{DC}$. Если в четырехугольнике два противоположных вектора равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. В параллелограмме векторы, соответствующие другой паре противоположных сторон, также равны. Значит, $\overrightarrow{A_1D} = \overrightarrow{B_1C}$. Утверждение верно.

Ответ: Да, верно.

25. Начертите призму $ABCA_1B_1C_1$. Отложите:

1) от точки B вектор, равный вектору $\vec{B_1B}$;

2) от точки A вектор, равный вектору $\vec{B_1A_1}$;

3) от точки C вектор, равный вектору $\vec{A_1B_1}$.

25. Начертите призму $ABCA_1B_1C_1$. Отложите:

1) от точки B вектор, равный вектору $\vec{B_1B}$;

2) от точки A вектор, равный вектору $\vec{B_1A_1}$;

3) от точки C вектор, равный вектору $\vec{A_1B_1}$.

Сначала начертим произвольную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$. Основаниями призмы являются равные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, которые лежат в параллельных плоскостях. Боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ параллельны и равны между собой. Боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $ACC_1A_1$) являются параллелограммами.

Из свойств призмы следуют следующие векторные равенства:

• $\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CC_1}$
• $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A_1B_1}$, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_1C_1}$, $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{C_1A_1}$

Два вектора равны, если они сонаправлены и их длины равны. Отложить от точки $P$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{MN}$, означает построить такой вектор $\overrightarrow{PQ}$, что $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{MN}$. Это эквивалентно построению точки $Q$ такой, что четырехугольник $MNQP$ является параллелограммом.

1) от точки B вектор, равный вектору $\overrightarrow{B_1B}$

Нам нужно отложить от точки $B$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{B_1B}$. Обозначим искомый вектор как $\overrightarrow{BD}$. Таким образом, $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B_1B}$.

Вектор $\overrightarrow{B_1B}$ противоположен вектору $\overrightarrow{BB_1}$. Из свойств призмы мы знаем, что $\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{AA_1}$. Следовательно, $\overrightarrow{B_1B} = -\overrightarrow{BB_1} = -\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{A_1A}$.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы отложить от точки $B$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{A_1A}$. То есть, нам нужно найти точку $D$ такую, что $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{A_1A}$. Равенство этих векторов означает, что четырехугольник $A_1ABD$ является параллелограммом. Для этого нужно из точки $B$ провести отрезок $BD$ параллельно и равный по длине отрезку $A_1A$, так чтобы векторы $\overrightarrow{BD}$ и $\overrightarrow{A_1A}$ были сонаправлены.

Ответ: Искомый вектор – это вектор $\overrightarrow{BD}$, где точка $D$ построена так, что четырехугольник $A_1ABD$ является параллелограммом.

2) от точки A вектор, равный вектору $\overrightarrow{B_1A_1}$

Нам нужно отложить от точки $A$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{B_1A_1}$. Обозначим искомый вектор как $\overrightarrow{AD}$. Таким образом, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B_1A_1}$.

Поскольку основания призмы параллельны и равны, соответствующие стороны оснований задают равные векторы: $\overrightarrow{B_1A_1} = \overrightarrow{BA}$.

Следовательно, нам нужно построить вектор $\overrightarrow{AD}$ такой, что $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BA}$. Это означает, что векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BA}$ сонаправлены и равны по длине. Точки $D$, $A$, $B$ лежат на одной прямой, причем точка $A$ является серединой отрезка $DB$. Для построения нужно продлить отрезок $BA$ за точку $A$ на расстояние, равное длине $BA$.

Ответ: Искомый вектор – это вектор $\overrightarrow{AD}$, где точка $D$ такова, что точка $A$ является серединой отрезка $DB$.

3) от точки C вектор, равный вектору $\overrightarrow{A_1B_1}$

Нам нужно отложить от точки $C$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{A_1B_1}$. Обозначим искомый вектор как $\overrightarrow{CD}$. Таким образом, $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{A_1B_1}$.

Из свойств призмы известно, что $\overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{AB}$.

Следовательно, нам нужно найти точку $D$ такую, что $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$. Равенство векторов $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{AB}$ означает, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. Для построения нужно из точки $C$ провести отрезок $CD$ параллельно и равный по длине отрезку $AB$, так чтобы векторы $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{AB}$ были сонаправлены.

Ответ: Искомый вектор – это вектор $\overrightarrow{CD}$, где точка $D$ построена так, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

26. Найдите координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, если $A(3; -4; -7)$, $B(-1; 5; 3)$.

26. Найдите координаты вектора $\vec{AB}$, если A (3; -4; -7), B (-1; 5; 3).

Чтобы найти координаты вектора $\vec{AB}$, необходимо из координат его конечной точки B вычесть соответствующие координаты его начальной точки A.

Пусть даны точки $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$. Координаты вектора $\vec{AB}$ находятся по формуле:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$

По условию задачи имеем:

$A(3; -4; -7)$

$B(-1; 5; 3)$

Подставим координаты точек A и B в формулу:

$x_{AB} = x_B - x_A = -1 - 3 = -4$

$y_{AB} = y_B - y_A = 5 - (-4) = 5 + 4 = 9$

$z_{AB} = z_B - z_A = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10$

Таким образом, координаты вектора $\vec{AB}$ равны $(-4; 9; 10)$.

Ответ: $\vec{AB}(-4; 9; 10)$

27. Найдите координаты конца вектора $ \vec{KM} (2; -2; 1), $ если $ K (3; 9; 15). $

27. Найдите координаты конца вектора $ \vec{KM} (2; -2; 1) $, если $ K (3; 9; 15) $.

Для нахождения координат конца вектора, точки М, воспользуемся формулой для вычисления координат вектора через координаты его начала и конца. Если вектор $\vec{KM}$ имеет начало в точке $K(x_K; y_K; z_K)$ и конец в точке $M(x_M; y_M; z_M)$, то его координаты равны:
$\vec{KM} = (x_M - x_K; y_M - y_K; z_M - z_K)$
По условию задачи, мы знаем координаты вектора $\vec{KM} (2; -2; 1)$ и координаты его начальной точки $K(3; 9; 15)$. Обозначим искомые координаты точки M как $(x_M; y_M; z_M)$.
Составим уравнения для каждой координаты:
$x_M - x_K = 2$
$y_M - y_K = -2$
$z_M - z_K = 1$
Теперь подставим известные координаты точки K в эти уравнения и найдем координаты точки M:
$x_M - 3 = 2 \implies x_M = 2 + 3 = 5$
$y_M - 9 = -2 \implies y_M = -2 + 9 = 7$
$z_M - 15 = 1 \implies z_M = 1 + 15 = 16$
Таким образом, координаты конца вектора, точки M, равны (5; 7; 16).
Ответ: (5; 7; 16).

28. Даны точки $M (-3; 2; z)$, $N (4; -6; 3)$, $E (2; y; -15)$ и $K (x; 1; -10)$. При каких значениях $x, y$ и $z$ верно равенство $\vec{MN} = \vec{EK}$?

28. Даны точки $M(-3; 2; z)$, $N(4; -6; 3)$, $E(2; y; -15)$ и $K(x; 1; -10)$. При каких значениях $x, y$ и $z$ верно равенство $\vec{MN} = \vec{EK}$?

Для того чтобы равенство векторов $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{EK}$ было верным, их соответствующие координаты должны быть равны.

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{MN}$, зная координаты его начальной точки $M(-3; 2; z)$ и конечной точки $N(4; -6; 3)$. Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора.

$\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M) = (4 - (-3); -6 - 2; 3 - z) = (7; -8; 3 - z)$

Теперь найдем координаты вектора $\overrightarrow{EK}$ с начальной точкой $E(2; y; -15)$ и конечной точкой $K(x; 1; -10)$.

$\overrightarrow{EK} = (x_K - x_E; y_K - y_E; z_K - z_E) = (x - 2; 1 - y; -10 - (-15)) = (x - 2; 1 - y; 5)$

Приравняем соответствующие координаты векторов $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{EK}$, чтобы удовлетворить условию $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{EK}$. Это дает нам систему из трех уравнений:

$\begin{cases} 7 = x - 2 \\ -8 = 1 - y \\ 3 - z = 5 \end{cases}$

Решим каждое уравнение системы, чтобы найти неизвестные значения $x$, $y$ и $z$.

Из первого уравнения находим $x$:

$7 = x - 2$

$x = 7 + 2$

$x = 9$

Из второго уравнения находим $y$:

$-8 = 1 - y$

$y = 1 - (-8)$

$y = 1 + 8$

$y = 9$

Из третьего уравнения находим $z$:

$3 - z = 5$

$-z = 5 - 3$

$-z = 2$

$z = -2$

Таким образом, равенство векторов верно при $x=9$, $y=9$ и $z=-2$.

Ответ: $x=9, y=9, z=-2$.

29. Используя векторы, докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A $(3; -2; 5)$, B $(-2; 7; -1)$, C $(-4; 14; -4)$ и D $(1; 5; 2)$ является параллелограммом.

29. Используя векторы, докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (3; -2; 5)$, $B (-2; 7; -1)$, $C (-4; 14; -4)$ и $D (1; 5; 2)$ является параллелограммом.

Четырехугольник является параллелограммом, если векторы, соответствующие его противоположным сторонам, равны. Чтобы доказать, что ABCD — параллелограмм, достаточно показать, что $\vec{AB} = \vec{DC}$ или $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$.

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке A(3; -2; 5) и концом в точке B(-2; 7; -1):

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-2 - 3; 7 - (-2); -1 - 5) = (-5; 9; -6)$.

Для вектора $\vec{DC}$ с началом в точке D(1; 5; 2) и концом в точке C(-4; 14; -4):

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) = (-4 - 1; 14 - 5; -4 - 2) = (-5; 9; -6)$.

Так как соответствующие координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны, то $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Равенство векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ означает, что стороны AB и DC четырехугольника ABCD параллельны и равны по длине. По признаку параллелограмма, если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник ABCD является параллелограммом, что и требовалось доказать.