Страница 35 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

288. В нижнем основании цилиндра на расстоянии $d$ от его центра проведена хорда, которую видно из этого центра под углом $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол $\varphi$. Найдите объём цилиндра.

288. В нижнем основании цилиндра на расстоянии $d$ от его центра проведена хорда, которую видно из этого центра под углом $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол $\varphi$. Найдите объём цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота цилиндра. Для нахождения объема необходимо определить радиус и высоту через данные в задаче величины.

Сначала найдем радиус основания $R$. Рассмотрим нижнее основание цилиндра, которое является кругом с центром $O$. В этом круге проведена хорда на расстоянии $d$ от центра. Пусть это будет хорда $AB$, а $M$ – ее середина. Тогда длина перпендикуляра из центра к хорде $OM = d$ и $OM \perp AB$. По условию, хорда видна из центра под углом $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$. Треугольник $AOB$ является равнобедренным, так как $OA = OB = R$ – радиусы. В равнобедренном треугольнике высота $OM$, проведенная к основанию, является также биссектрисой, поэтому $\angle AOM = \frac{\alpha}{2}$. Из прямоугольного треугольника $OAM$ (с прямым углом $M$) имеем: $\cos(\angle AOM) = \frac{OM}{OA}$, или $\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d}{R}$. Отсюда выражаем радиус:

$R = \frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Теперь найдем высоту цилиндра $H$. Пусть $O'$ – центр верхнего основания, а $P$ – точка на окружности нижнего основания. Отрезок $O'P$ образует с плоскостью нижнего основания угол $\phi$. Проекцией наклонной $O'P$ на плоскость нижнего основания является отрезок $OP$, который равен радиусу $R$. Отрезок $OO'$ перпендикулярен плоскости основания, и его длина равна высоте цилиндра $H$. Таким образом, треугольник $O'OP$ – прямоугольный (с прямым углом $O$). Угол между наклонной и ее проекцией равен $\angle O'PO = \phi$. Из этого треугольника находим соотношение между катетами $H$ и $R$: $\tan(\phi) = \frac{OO'}{OP} = \frac{H}{R}$. Отсюда высота равна:

$H = R \tan(\phi)$

Подставив в это выражение найденное значение $R$, получим:

$H = \frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \tan(\phi) = \frac{d \tan(\phi)}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Наконец, вычислим объем цилиндра, подставив выражения для $R$ и $H$ в формулу объема:

$V = \pi R^2 H = \pi \left( \frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \right)^2 \left( \frac{d \tan(\phi)}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \right) = \pi \frac{d^2}{\cos^2(\frac{\alpha}{2})} \frac{d \tan(\phi)}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\pi d^3 \tan(\phi)}{\cos^3(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $V = \frac{\pi d^3 \tan(\phi)}{\cos^3(\frac{\alpha}{2})}$

289. Объём цилиндра равен $V$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

289. Объём цилиндра равен $V$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, $H$ — его высота. Тогда объём цилиндра $V$ вычисляется по формуле:

$V = \pi R^2 H$

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра $H$ и диаметру его основания $D = 2R$. Площадь этого сечения $S_{сеч}$ равна:

$S_{сеч} = D \cdot H = 2R \cdot H$

Диагональ осевого сечения, его сторона $D$ (диаметр основания) и сторона $H$ (высота цилиндра) образуют прямоугольный треугольник. Угол $\gamma$ между диагональю и плоскостью основания — это угол между диагональю и её проекцией на эту плоскость, то есть диаметром $D$.

Из этого прямоугольного треугольника можно выразить тангенс угла $\gamma$:

$\tan \gamma = \frac{H}{D}$

Отсюда выразим высоту $H$ через диаметр $D$ и угол $\gamma$:

$H = D \tan \gamma$

Теперь подставим это выражение для $H$ в формулу для площади осевого сечения:

$S_{сеч} = D \cdot (D \tan \gamma) = D^2 \tan \gamma$

Теперь выразим объём цилиндра через $D$ и $\gamma$. Учитывая, что $R = D/2$:

$V = \pi (\frac{D}{2})^2 H = \frac{\pi D^2}{4} H$

Подставим в эту формулу выражение $H = D \tan \gamma$:

$V = \frac{\pi D^2}{4} (D \tan \gamma) = \frac{\pi D^3 \tan \gamma}{4}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений, связывающая искомое $S_{сеч}$ и данное $V$ через промежуточную переменную $D$:

1) $S_{сеч} = D^2 \tan \gamma$

2) $V = \frac{\pi D^3 \tan \gamma}{4}$

Возведём первое уравнение в степень $3$, а второе в степень $2$, чтобы получить $D^6$ в обоих выражениях:

$S_{сеч}^3 = (D^2 \tan \gamma)^3 = D^6 \tan^3 \gamma$

$V^2 = (\frac{\pi D^3 \tan \gamma}{4})^2 = \frac{\pi^2 D^6 \tan^2 \gamma}{16}$

Из второго выражения выразим $D^6$:

$D^6 = \frac{16 V^2}{\pi^2 \tan^2 \gamma}$

Подставим это в первое выражение:

$S_{сеч}^3 = (\frac{16 V^2}{\pi^2 \tan^2 \gamma}) \cdot \tan^3 \gamma = \frac{16 V^2 \tan \gamma}{\pi^2}$

Теперь извлечём кубический корень из обеих частей, чтобы найти $S_{сеч}$:

$S_{сеч} = \sqrt[3]{\frac{16 V^2 \tan \gamma}{\pi^2}}$

Ответ: $S_{сеч} = \sqrt[3]{\frac{16 V^2 \tan \gamma}{\pi^2}}$

290. В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Найдите отношение объёма этой призмы к объёму цилиндра.

290. В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Найдите отношение объёма этой призмы к объёму цилиндра.

Для решения задачи необходимо найти объемы правильной треугольной призмы и цилиндра, а затем найти их отношение.

1. Объем цилиндра.
Объем цилиндра ($V_{цил}$) вычисляется по формуле: $V_{цил} = S_{осн. цил} \cdot H$, где $S_{осн. цил}$ — площадь основания, а $H$ — высота цилиндра.Основание цилиндра — это круг, его площадь равна $S_{осн. цил} = \pi R^2$, где $R$ — радиус основания.Таким образом, формула объема цилиндра: $V_{цил} = \pi R^2 H$.

2. Объем призмы.
Объем призмы ($V_{пр}$) вычисляется по формуле: $V_{пр} = S_{осн. пр} \cdot h$, где $S_{осн. пр}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.Так как призма вписана в цилиндр, их высоты равны: $h = H$.

Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник. Этот треугольник вписан в окружность, которая является основанием цилиндра. Найдем площадь этого треугольника, выразив ее через радиус $R$ описанной окружности.

Связь между стороной равностороннего треугольника ($a$) и радиусом описанной около него окружности ($R$) выражается формулой: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.Отсюда выразим сторону треугольника: $a = R\sqrt{3}$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн. пр} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.Подставим в эту формулу выражение для $a$ через $R$:$S_{осн. пр} = \frac{(R\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$.

Теперь найдем объем призмы:$V_{пр} = S_{осн. пр} \cdot H = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4} \cdot H$.

3. Отношение объемов.
Найдем отношение объема призмы к объему цилиндра:$\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}R^2 H}{4}}{\pi R^2 H}$.

Сократим одинаковые множители $R^2$ и $H$ в числителе и знаменателе:$\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$

291. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 10 см и 24 см, а его диагональ наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите объём цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

291. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 10 см и 24 см, а его диагональ наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите объём цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a = 10$ см и $b = 24$ см.

1. Найдем диагональ основания параллелепипеда.
Основание параллелепипеда — это прямоугольник. Его диагональ $d$ можно найти по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ см.

2. Найдем высоту параллелепипеда.
Диагональ параллелепипеда $D$, его высота $h$ и диагональ основания $d$ образуют прямоугольный треугольник. Угол наклона диагонали параллелепипеда к плоскости основания — это угол между $D$ и $d$. По условию, этот угол равен $45^\circ$.
В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\text{tg}(45^\circ) = \frac{h}{d}$
Поскольку $\text{tg}(45^\circ) = 1$, то $h = d$.
Следовательно, высота параллелепипеда $h = 26$ см.

3. Найдем параметры описанного цилиндра.
Цилиндр описан около параллелепипеда. Это значит, что высота цилиндра $H$ равна высоте параллелепипеда $h$, а основание цилиндра — это круг, описанный около основания параллелепипеда.
Высота цилиндра: $H = h = 26$ см.
Диаметр основания цилиндра равен диагонали основания параллелепипеда $d$. Тогда радиус основания цилиндра $R$ равен:
$R = \frac{d}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

4. Найдем объём цилиндра.
Объём цилиндра $V$ вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$.
Подставим найденные значения $R$ и $H$:
$V = \pi \cdot 13^2 \cdot 26 = \pi \cdot 169 \cdot 26 = 4394\pi$ см$^3$.

Ответ: $4394\pi$ см$^3$.

292. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей боковую сторону основания, равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём цилиндра, описанного около призмы.

292. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей боковую сторону основания, равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём цилиндра, описанного около призмы.

Для нахождения объёма цилиндра, описанного около призмы, используется формула $V = \pi R^2 H$, где $R$ — это радиус основания цилиндра (который равен радиусу окружности, описанной около основания призмы), а $H$ — это высота цилиндра (которая равна высоте призмы).

1. Найдём высоту призмы $H$ и боковую сторону $b$ треугольника в основании.По условию, призма прямая, значит её боковые рёбра перпендикулярны основанию. Диагональ боковой грани, содержащей боковую сторону основания, равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Эта диагональ, высота призмы $H$ и боковая сторона $b$ треугольника образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $d$ — гипотенуза, $H$ — катет, противолежащий углу $\beta$, а $b$ — катет, прилежащий к углу $\beta$.Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$H = d \sin \beta$

$b = d \cos \beta$

2. Найдём радиус $R$ окружности, описанной около треугольника в основании.Основание призмы — равнобедренный треугольник с боковой стороной $b$ и углом при основании $\alpha$. Угол, противолежащий боковой стороне $b$, равен $\alpha$. По следствию из теоремы синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{b}{\sin \alpha} = 2R$

Выразим радиус $R$ и подставим найденное ранее значение для $b$:

$R = \frac{b}{2 \sin \alpha} = \frac{d \cos \beta}{2 \sin \alpha}$

3. Вычислим объём цилиндра $V$.Подставим найденные выражения для $H$ и $R$ в формулу объёма цилиндра:

$V = \pi R^2 H = \pi \left( \frac{d \cos \beta}{2 \sin \alpha} \right)^2 (d \sin \beta) = \pi \frac{d^2 \cos^2 \beta}{4 \sin^2 \alpha} \cdot d \sin \beta = \frac{\pi d^3 \cos^2 \beta \sin \beta}{4 \sin^2 \alpha}$

Ответ: $\frac{\pi d^3 \cos^2 \beta \sin \beta}{4 \sin^2 \alpha}$

293. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 8 см, а боковое ребро — 4 см. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

293. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 8 см, а боковое ребро — 4 см. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 H$, где $r$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Так как цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму, его высота $H$ равна высоте (боковому ребру) призмы, а основание цилиндра (окружность) является вписанным в основание призмы (правильный шестиугольник).

Из условия задачи известно, что боковое ребро призмы равно 4 см. Следовательно, высота цилиндра $H = 4$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a$, равен апофеме этого шестиугольника и вычисляется по формуле:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

По условию, сторона основания призмы $a = 8$ см. Подставим это значение в формулу для радиуса:

$r = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная радиус и высоту, можем найти объём цилиндра:

$V = \pi r^2 H = \pi \cdot (4\sqrt{3})^2 \cdot 4 = \pi \cdot (16 \cdot 3) \cdot 4 = \pi \cdot 48 \cdot 4 = 192\pi$ см³.

Ответ: $192\pi$ см³.

294. Основанием прямой призмы является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

294. Основанием прямой призмы является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

В данном случае цилиндр вписан в прямую призму. Это означает, что высота цилиндра $H$ равна высоте призмы, а основание цилиндра (окружность) вписано в основание призмы (ромб).

1. Найдём радиус $R$ основания цилиндра.

Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты ромба $h_{ромба}$. Высоту ромба можно найти через его сторону $a$ и острый угол $\alpha$:

$h_{ромба} = a \cdot \sin(\alpha)$

Следовательно, радиус $R$ равен:

$R = \frac{1}{2} h_{ромба} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$

2. Найдём высоту $H$ цилиндра.

Высота цилиндра $H$ равна высоте призмы. По условию, меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный меньшей диагональю призмы, её проекцией на основание (которая является меньшей диагональю ромба $d_{ромба}$) и высотой призмы $H$.

В этом треугольнике высота призмы $H$ является катетом, противолежащим углу $\beta$, а меньшая диагональ ромба $d_{ромба}$ — прилежащим катетом. Таким образом:

$\tan(\beta) = \frac{H}{d_{ромба}} \implies H = d_{ромба} \cdot \tan(\beta)$

Теперь найдём длину меньшей диагонали ромба $d_{ромба}$. Она лежит напротив острого угла $\alpha$. По теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба $a$ и диагональю $d_{ромба}$:

$d_{ромба}^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$

Используя формулу половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:

$d_{ромба}^2 = 2a^2 \cdot 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$

$d_{ромба} = 2a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Подставим найденное значение $d_{ромба}$ в формулу для высоты $H$:

$H = 2a \sin(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$

3. Вычислим объём цилиндра.

Теперь у нас есть все необходимые компоненты для формулы объёма $V = \pi R^2 H$. Подставим выражения для $R$ и $H$:

$V = \pi \left(\frac{a \sin(\alpha)}{2}\right)^2 \left(2a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)\right)$

$V = \pi \frac{a^2 \sin^2(\alpha)}{4} \cdot 2a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$

$V = \frac{\pi a^3 \sin^2(\alpha) \sin(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{2}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3}{2} \sin^2(\alpha) \sin(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$

295. Радиус основания конуса равен 4 см, а его высота – 6 см. Найдите объём конуса.

295. Радиус основания конуса равен 4 см, а его высота — 6 см. Найдите объём конуса.

Для нахождения объёма конуса используется формула: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота конуса.

Основанием конуса является круг, площадь которого вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ — радиус основания.

Таким образом, формула для объёма конуса принимает вид: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

Согласно условию задачи, радиус основания конуса $R = 4$ см, а его высота $H = 6$ см.

Подставим эти значения в формулу: $V = \frac{1}{3} \pi \cdot (4 \text{ см})^2 \cdot 6 \text{ см}$

Произведем вычисления: $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = \frac{1}{3} \pi \cdot 96 \text{ см}^3 = 32 \pi \text{ см}^3$.

Ответ: $32 \pi \text{ см}^3$.

296. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости его основания под углом $30^\circ$. Найдите объём конуса.

296. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости его основания под углом $30^{\circ}$. Найдите объём конуса.

Пусть $l$ — образующая конуса, $h$ — его высота, а $r$ — радиус основания. Согласно условию, образующая $l = a$, а угол наклона образующей к плоскости основания равен $30^{\circ}$.

Высота конуса, его образующая и радиус основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенуза — это образующая $l = a$;
• один катет — это высота $h$;
• второй катет — это радиус $r$;
• угол между образующей (гипотенузой) и радиусом (прилежащим катетом) равен $30^{\circ}$.

Найдем высоту $h$ и радиус $r$ через образующую $a$ и заданный угол, используя тригонометрические функции.

Высота $h$ является катетом, противолежащим углу в $30^{\circ}$, поэтому:
$h = l \cdot \sin(30^{\circ}) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$

Радиус $r$ является катетом, прилежащим к углу в $30^{\circ}$, поэтому:
$r = l \cdot \cos(30^{\circ}) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Объем конуса $V$ вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Подставим найденные выражения для $h$ и $r$ в формулу объема:
$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 \left(\frac{a}{2}\right)$

$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a^2 \cdot 3}{4}\right) \frac{a}{2}$

$V = \frac{1}{3} \pi \frac{3a^3}{8} = \frac{3\pi a^3}{3 \cdot 8} = \frac{\pi a^3}{8}$

Ответ: $\frac{\pi a^3}{8}$

297. Объём конуса равен 48 $см^3$, а его высота – 4 см. Найдите площадь основания конуса.

297. Объём конуса равен $48 \text{ см}^3$, а его высота – $4 \text{ см}$. Найдите площадь основания конуса.

Формула для вычисления объёма конуса ($V$) выглядит следующим образом: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ – это площадь основания, а $h$ – высота конуса.

В условии задачи даны значения объёма и высоты:
$V = 48$ см³
$h = 4$ см

Для того чтобы найти площадь основания, необходимо выразить $S_{осн}$ из формулы объёма:
$S_{осн} = \frac{3V}{h}$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу и произведём вычисления:
$S_{осн} = \frac{3 \cdot 48}{4} = \frac{144}{4} = 36$ см²

Ответ: 36 см²

298. Объём цилиндра равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объём конуса, имеющего такие же радиус основания и высоту, как и данный цилиндр.

298. Объём цилиндра равен 12 $\text{см}^3$. Найдите объём конуса, имеющего такие же радиус основания и высоту, как и данный цилиндр.

Для решения задачи воспользуемся формулами для вычисления объемов цилиндра и конуса.

Пусть $r$ — радиус основания, а $h$ — высота. По условию, эти параметры для цилиндра и конуса одинаковы.

Объем цилиндра ($V_{цил}$) вычисляется по формуле:
$V_{цил} = \pi r^2 h$

Объем конуса ($V_{кон}$) вычисляется по формуле:
$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Из сравнения формул видно, что объем конуса в три раза меньше объема цилиндра с такими же радиусом основания и высотой. Мы можем записать это соотношение следующим образом:
$V_{кон} = \frac{1}{3} V_{цил}$

По условию задачи, объем цилиндра равен $12 \text{ см}^3$:
$V_{цил} = 12 \text{ см}^3$

Теперь, зная объем цилиндра, мы можем найти объем конуса:
$V_{кон} = \frac{1}{3} \cdot 12 \text{ см}^3 = 4 \text{ см}^3$

Ответ: 4 см³.