Номер 294, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

294. Основанием прямой призмы является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

294. Основанием прямой призмы является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

В данном случае цилиндр вписан в прямую призму. Это означает, что высота цилиндра $H$ равна высоте призмы, а основание цилиндра (окружность) вписано в основание призмы (ромб).

1. Найдём радиус $R$ основания цилиндра.

Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты ромба $h_{ромба}$. Высоту ромба можно найти через его сторону $a$ и острый угол $\alpha$:

$h_{ромба} = a \cdot \sin(\alpha)$

Следовательно, радиус $R$ равен:

$R = \frac{1}{2} h_{ромба} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$

2. Найдём высоту $H$ цилиндра.

Высота цилиндра $H$ равна высоте призмы. По условию, меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный меньшей диагональю призмы, её проекцией на основание (которая является меньшей диагональю ромба $d_{ромба}$) и высотой призмы $H$.

В этом треугольнике высота призмы $H$ является катетом, противолежащим углу $\beta$, а меньшая диагональ ромба $d_{ромба}$ — прилежащим катетом. Таким образом:

$\tan(\beta) = \frac{H}{d_{ромба}} \implies H = d_{ромба} \cdot \tan(\beta)$

Теперь найдём длину меньшей диагонали ромба $d_{ромба}$. Она лежит напротив острого угла $\alpha$. По теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба $a$ и диагональю $d_{ромба}$:

$d_{ромба}^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$

Используя формулу половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:

$d_{ромба}^2 = 2a^2 \cdot 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$

$d_{ромба} = 2a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Подставим найденное значение $d_{ромба}$ в формулу для высоты $H$:

$H = 2a \sin(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$

3. Вычислим объём цилиндра.

Теперь у нас есть все необходимые компоненты для формулы объёма $V = \pi R^2 H$. Подставим выражения для $R$ и $H$:

$V = \pi \left(\frac{a \sin(\alpha)}{2}\right)^2 \left(2a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)\right)$

$V = \pi \frac{a^2 \sin^2(\alpha)}{4} \cdot 2a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$

$V = \frac{\pi a^3 \sin^2(\alpha) \sin(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}{2}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3}{2} \sin^2(\alpha) \sin(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)$