Номер 287, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

287. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $120^\circ$, и удалённое от оси цилиндра на 3 см. Найдите объём цилиндра, если диагональ полученного сечения равна 12 см.

287. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 120°, и удалённое от оси цилиндра на 3 см. Найдите объём цилиндра, если диагональ полученного сечения равна 12 см.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра. Для решения задачи необходимо найти эти два параметра.

Нахождение радиуса основания R
Сечение, проведённое параллельно оси цилиндра, в основании отсекает хорду. Рассмотрим окружность основания. Пусть O — её центр, а AB — хорда, отсекаемая сечением. По условию, градусная мера дуги AB равна $120^{\circ}$, следовательно, центральный угол $\angle AOB$ также равен $120^{\circ}$.
Треугольник AOB является равнобедренным, так как $OA = OB = R$ (радиусы). Расстояние от оси цилиндра до сечения — это перпендикуляр OM, проведённый из центра O к хорде AB. По условию, $OM = 3$ см.
В равнобедренном треугольнике AOB высота OM является также биссектрисой, поэтому она делит угол AOB пополам: $\angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA (где $\angle OMA = 90^{\circ}$). В нём гипотенуза $OA = R$, катет $OM = 3$ см, а угол $\angle AOM = 60^{\circ}$. Используя определение косинуса, найдём радиус R:
$\cos(\angle AOM) = \frac{OM}{OA}$
$\cos(60^{\circ}) = \frac{3}{R}$
Так как $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\frac{1}{2} = \frac{3}{R} \implies R = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Нахождение высоты цилиндра H
Сечение представляет собой прямоугольник. Одна его сторона — это хорда AB, а другая — высота цилиндра $H$. Диагональ этого прямоугольника по условию равна 12 см.
Сначала найдём длину хорды AB. Из того же прямоугольного треугольника OMA найдём катет AM, который равен половине хорды AB:
$AM = OM \cdot \tan(\angle AOM) = 3 \cdot \tan(60^{\circ}) = 3\sqrt{3}$ см.
Длина всей хорды: $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.
Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольнику сечения, где стороны равны $AB = 6\sqrt{3}$ см и $H$, а диагональ $d = 12$ см:
$d^2 = AB^2 + H^2$
$12^2 = (6\sqrt{3})^2 + H^2$
$144 = 36 \cdot 3 + H^2$
$144 = 108 + H^2$
$H^2 = 144 - 108 = 36$
$H = \sqrt{36} = 6$ см.

Вычисление объёма цилиндра
Теперь, когда известны радиус основания $R = 6$ см и высота $H = 6$ см, мы можем вычислить объём цилиндра:
$V = \pi R^2 H = \pi \cdot (6 \text{ см})^2 \cdot 6 \text{ см} = \pi \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 216\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $216\pi \text{ см}^3$.