Номер 280, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

280. Основания усечённой пирамиды — треугольники со сторонами 13 см, 14 см, 15 см и 26 см, 28 см, 30 см соответственно. Каждое боковое ребро усечённой пирамиды образует с плоскостью большего основания угол $60^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

280. Основания усечённой пирамиды — треугольники со сторонами 13 см, 14 см, 15 см и 26 см, 28 см, 30 см соответственно. Каждое боковое ребро усечённой пирамиды образует с плоскостью большего основания угол $60^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды используется формула:$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $H$ – высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ – площади её оснований.

1. Найдём площади оснований.

Основания являются треугольниками. Для нахождения их площадей воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ – полупериметр треугольника.

Для меньшего основания со сторонами $a_1=13$ см, $b_1=14$ см, $c_1=15$ см:Полупериметр: $p_1 = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.Площадь: $S_1 = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см$^2$.

Для большего основания со сторонами $a_2=26$ см, $b_2=28$ см, $c_2=30$ см:Заметим, что стороны большего основания в 2 раза больше сторон меньшего основания ($26=2 \cdot 13$, $28=2 \cdot 14$, $30=2 \cdot 15$). Следовательно, основания являются подобными треугольниками с коэффициентом подобия $k=2$.Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:$S_2 = k^2 \cdot S_1 = 2^2 \cdot 84 = 4 \cdot 84 = 336$ см$^2$.

2. Найдём высоту усечённой пирамиды.

По условию, каждое боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол $60^\circ$. Это означает, что если достроить усечённую пирамиду до полной, то её вершина будет проецироваться в центр описанной окружности основания.Высоту усеченной пирамиды $H$ можно найти через радиусы описанных окружностей оснований ($R_1$ и $R_2$). Рассмотрим осевое сечение, проходящее через боковое ребро и центры описанных окружностей. В получившейся прямоугольной трапеции катет, равный высоте $H$, противолежит углу $60^\circ$ в прямоугольном треугольнике, гипотенузой которого является боковое ребро, а вторым катетом — разность радиусов $R_2 - R_1$.Таким образом, $H = (R_2 - R_1) \cdot \tan(60^\circ)$.

Найдём радиусы описанных окружностей по формуле $R = \frac{abc}{4S}$:Для меньшего основания:$R_1 = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8}$ см.

Для большего основания, так как оно подобно меньшему с коэффициентом $k=2$:$R_2 = k \cdot R_1 = 2 \cdot \frac{65}{8} = \frac{65}{4}$ см.

Теперь найдём высоту $H$:$H = (\frac{65}{4} - \frac{65}{8}) \cdot \sqrt{3} = (\frac{130-65}{8}) \cdot \sqrt{3} = \frac{65\sqrt{3}}{8}$ см.

3. Вычислим объём усечённой пирамиды.

Подставим найденные значения $S_1$, $S_2$ и $H$ в формулу объёма:$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{65\sqrt{3}}{8} \cdot (84 + 336 + \sqrt{84 \cdot 336})$$\sqrt{84 \cdot 336} = \sqrt{84 \cdot (4 \cdot 84)} = \sqrt{84^2 \cdot 4} = 84 \cdot 2 = 168$.$V = \frac{65\sqrt{3}}{24} \cdot (84 + 336 + 168) = \frac{65\sqrt{3}}{24} \cdot 588$.Сократим дробь: $588$ и $24$ делятся на $12$ ($588 / 12 = 49$, $24 / 12 = 2$).$V = \frac{65\sqrt{3}}{2} \cdot 49 = \frac{3185\sqrt{3}}{2}$ см$^3$.

Ответ: $ \frac{3185\sqrt{3}}{2} \text{ см}^3$.