Номер 276, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

276. Сторона меньшего основания правильной усечённой треугольной пирамиды равна 4 см, а боковое ребро равно 6 см и образует с плоскостью большего основания угол $60^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

276. Сторона меньшего основания правильной усечённой треугольной пирамиды равна 4 см, а боковое ребро равно 6 см и образует с плоскостью большего основания угол 60°. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $H$ — высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади большего и меньшего оснований соответственно.

Поскольку пирамида правильная, её основаниями являются равносторонние треугольники. Сторона меньшего основания по условию равна $a_2 = 4$ см. Найдём площадь меньшего основания $S_2$:

$S_2 = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².

Высоту пирамиды $H$ найдём из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром $l=6$ см (гипотенуза), высотой $H$ (катет) и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $60°$. Высота $H$ является катетом, противолежащим этому углу:

$H = l \cdot \sin(60°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Чтобы найти площадь большего основания $S_1$, нужно сначала определить длину его стороны $a_1$. Проекция бокового ребра на плоскость большего основания равна разности радиусов $R_1$ и $R_2$ окружностей, описанных около оснований. Длина этой проекции является катетом, прилежащим к углу $60°$:

$R_1 - R_2 = l \cdot \cos(60°) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Для меньшего основания с $a_2=4$ см:

$R_2 = \frac{a_2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь найдём радиус описанной окружности большего основания:

$R_1 = R_2 + 3 = \frac{4}{\sqrt{3}} + 3 = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ см.

Зная $R_1$, найдём сторону большего основания $a_1$:

$a_1 = R_1\sqrt{3} = \left(\frac{4 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)\sqrt{3} = 4 + 3\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь большего основания $S_1$:

$S_1 = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 + 3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(16 + 24\sqrt{3} + 27)\sqrt{3}}{4} = \frac{(43 + 24\sqrt{3})\sqrt{3}}{4} = \frac{72 + 43\sqrt{3}}{4}$ см².

Теперь можно вычислить объём. Для этого найдём все компоненты в формуле объёма. Удобно вычислить $\sqrt{S_1 S_2}$, используя подобие оснований: $\sqrt{S_1 S_2} = S_2 \frac{a_1}{a_2}$.

$\sqrt{S_1 S_2} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{4 + 3\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}(4 + 3\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} + 9$ см².

Подставим все найденные значения в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} \left( \frac{72 + 43\sqrt{3}}{4} + 4\sqrt{3} + (9 + 4\sqrt{3}) \right)$

$V = \sqrt{3} \left( \frac{72 + 43\sqrt{3}}{4} + 8\sqrt{3} + 9 \right)$

Приведём слагаемые в скобках к общему знаменателю:

$V = \sqrt{3} \left( \frac{72 + 43\sqrt{3} + 32\sqrt{3} + 36}{4} \right) = \sqrt{3} \left( \frac{108 + 75\sqrt{3}}{4} \right)$

Раскроем скобки:

$V = \frac{108\sqrt{3} + 75(\sqrt{3})^2}{4} = \frac{108\sqrt{3} + 75 \cdot 3}{4} = \frac{225 + 108\sqrt{3}}{4}$

$V = \frac{225}{4} + \frac{108\sqrt{3}}{4} = 56.25 + 27\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $56.25 + 27\sqrt{3}$ см³.