Номер 272, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

272. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB = 90^\circ$, $BC = a$, $\angle BAC = \alpha$. Грани $DAC$ и $DAB$ перпендикулярны плоскости основания пирамиды, а грань $DBC$ наклонена к ней под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

272. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB = 90^\circ$, $BC = a$, $\angle BAC = \alpha$. Грани $DAC$ и $DAB$ перпендикулярны плоскости основания пирамиды, а грань $DBC$ наклонена к ней под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

1. Анализ условия и определение высоты пирамиды

По условию, грани DAC и DAB перпендикулярны плоскости основания ABC. Если две плоскости, пересекающиеся по прямой, перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости. Грани DAC и DAB пересекаются по ребру DA. Следовательно, ребро DA перпендикулярно плоскости основания (ABC), а значит, DA является высотой пирамиды. Обозначим $H = DA$.

2. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник ABC, в котором $\angle ACB = 90^\circ$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$.

Нам дано $BC = a$ и $\angle BAC = \alpha$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике ABC найдем катет AC:

$\tan(\alpha) = \frac{BC}{AC} \Rightarrow AC = \frac{BC}{\tan(\alpha)} = a \cdot \cot(\alpha)$.

Теперь можем вычислить площадь основания:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (a \cdot \cot(\alpha)) \cdot a = \frac{1}{2}a^2\cot(\alpha)$.

3. Нахождение высоты пирамиды

По условию, грань DBC наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Угол между двумя плоскостями (двугранный угол) измеряется линейным углом, который образован двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей из одной точки.

Линия пересечения плоскостей (DBC) и (ABC) — это прямая BC.

В плоскости основания (ABC) у нас есть перпендикуляр к BC — это катет AC, так как $\angle ACB = 90^\circ$.

DA — перпендикуляр к плоскости (ABC), AC — проекция наклонной DC на эту плоскость. Так как проекция AC перпендикулярна прямой BC, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная DC перпендикулярна BC ($DC \perp BC$).

Таким образом, линейным углом двугранного угла между плоскостями (DBC) и (ABC) является угол $\angle DCA$. По условию, $\angle DCA = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DAC (угол $\angle DAC = 90^\circ$, так как DA — высота). Из этого треугольника найдем высоту $H = DA$:

$\tan(\angle DCA) = \frac{DA}{AC} \Rightarrow \tan(\beta) = \frac{H}{AC}$.

Отсюда $H = AC \cdot \tan(\beta)$. Подставим ранее найденное значение AC:

$H = (a \cdot \cot(\alpha)) \cdot \tan(\beta) = a \cot(\alpha) \tan(\beta)$.

4. Вычисление объёма пирамиды

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{base} \cdot H$. Подставим найденные значения площади основания $S_{ABC}$ и высоты $H$:

$V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2\cot(\alpha)\right) \cdot \left(a \cot(\alpha) \tan(\beta)\right)$

$V = \frac{1}{6}a^3\cot^2(\alpha)\tan(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{1}{6}a^3\cot^2(\alpha)\tan(\beta)$.