Номер 277, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

277. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 4 см и 6 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $30^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

277. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 4 см и 6 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $30^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ – высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ – площади её оснований.

Поскольку усечённая пирамида правильная четырёхугольная, её основаниями являются квадраты. Найдём их площади.

Сторона большего основания $a = 6$ см, тогда его площадь:

$S_1 = a^2 = 6^2 = 36$ см².

Сторона меньшего основания $b = 4$ см, тогда его площадь:

$S_2 = b^2 = 4^2 = 16$ см².

Для нахождения высоты $h$ рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через апофемы (высоты боковых граней). Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, основания которой равны сторонам оснований пирамиды (точнее, их апофемам), а высота равна высоте пирамиды $h$. Однако удобнее рассмотреть сечение, проходящее через середины противоположных сторон оснований. Это сечение также является равнобокой трапецией, основания которой равны сторонам оснований пирамиды ($a=6$ см и $b=4$ см), боковые стороны равны апофемам пирамиды, а высота этой трапеции является высотой пирамиды $h$.

Угол при большем основании этой трапеции равен двугранному углу при ребре большего основания пирамиды, то есть $30^\circ$.

Опустим высоту из вершины меньшего основания трапеции на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, в котором:

• один катет – это высота пирамиды $h$;
• второй катет равен полуразности оснований трапеции: $\frac{a - b}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1$ см;
• угол, противолежащий катету $h$, равен $30^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдём высоту $h$:

$\tan(30^\circ) = \frac{h}{\frac{a - b}{2}}$

$h = \frac{a - b}{2} \cdot \tan(30^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь, когда все компоненты известны, можем вычислить объём усечённой пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} (36 + 16 + \sqrt{36 \cdot 16}) = \frac{\sqrt{3}}{9} (52 + \sqrt{576}) = \frac{\sqrt{3}}{9} (52 + 24) = \frac{\sqrt{3}}{9} \cdot 76 = \frac{76\sqrt{3}}{9}$ см³.

Ответ: $\frac{76\sqrt{3}}{9}$ см³.