Номер 271, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

271. Грани $DAB$ и $DAC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите объём пирамиды, если $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см, а расстояние от вершины $D$ до прямой $BC$ равно $4\sqrt{10}$ см.

271. Грани $DAB$ и $DAC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите объём пирамиды, если $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см, а расстояние от вершины $D$ до прямой $BC$ равно $4\sqrt{10}$ см.

По условию, грани $DAB$ и $DAC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения плоскостей $DAB$ и $DAC$ является ребро $DA$. Следовательно, ребро $DA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ и является высотой пирамиды $DABC$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. В нашем случае $S_{осн} = S_{ABC}$ и $H = DA$.

Сначала найдем площадь основания — треугольника $ABC$ — по формуле Герона, так как известны длины всех его сторон: $a = BC = 14$ см, $b = AC = 15$ см, $c = AB = 13$ см.Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{14 + 15 + 13}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.
Теперь найдем площадь треугольника:
$S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-14)(21-15)(21-13)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8} = \sqrt{7056} = 84$ см².

Далее найдем высоту пирамиды $DA$. По условию, расстояние от вершины $D$ до прямой $BC$ равно $4\sqrt{10}$ см. Пусть $K$ — точка на прямой $BC$, такая что $DK \perp BC$. Тогда длина отрезка $DK = 4\sqrt{10}$ см.
Рассмотрим отрезок $AK$. Так как $DA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, $DK$ — наклонная к этой плоскости, а $AK$ — ее проекция. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($DK$) перпендикулярна прямой на плоскости ($BC$), то и ее проекция ($AK$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $AK \perp BC$, и $AK$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$.
Длину высоты $AK$ можно найти, используя площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK \implies AK = \frac{2S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 84}{14} = 12$ см.
Так как $DA$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $DA$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$, в том числе и $AK$. Следовательно, треугольник $DAK$ — прямоугольный с прямым углом $A$. По теореме Пифагора:
$DA^2 + AK^2 = DK^2$
$DA^2 = DK^2 - AK^2 = (4\sqrt{10})^2 - 12^2 = 16 \cdot 10 - 144 = 160 - 144 = 16$
$DA = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь мы можем вычислить объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot DA = \frac{1}{3} \cdot 84 \cdot 4 = 28 \cdot 4 = 112$ см³.

Ответ: $112$ см³.