Номер 268, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

268. Основание пирамиды — ромб с острым углом $\alpha$ и большей диагональю $d$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\gamma$. Найдите объём пирамиды.

268. Основание пирамиды — ромб с острым углом $\alpha$ и большей диагональю $d$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\gamma$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для решения задачи нам необходимо найти площадь основания (ромба) и высоту пирамиды.

1. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является ромб с острым углом $\alpha$ и большей диагональю $d$. Пусть ромб будет $ABCD$, где $\angle BAD = \alpha$ — острый угол, а $\angle ABC = 180^\circ - \alpha$ — тупой угол. Большая диагональ соединяет вершины тупых углов, следовательно, $AC = d$. Меньшая диагональ — $BD$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, в точке пересечения $O$ делятся пополам и являются биссектрисами его углов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$. В нем катет $AO$ равен половине большей диагонали, $AO = \frac{d}{2}$. Угол $\angle OAB$ равен половине острого угла ромба, $\angle OAB = \frac{\alpha}{2}$.

Найдем второй катет $OB$ через тангенс угла $\angle OAB$:

$OB = AO \cdot \tan(\angle OAB) = \frac{d}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Меньшая диагональ ромба $BD$ равна удвоенному отрезку $OB$:

$BD = 2 \cdot OB = 2 \cdot \frac{d}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Площадь ромба $S_{осн}$ равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot d \cdot \left(d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}d^2 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

2. Нахождение высоты пирамиды

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $\gamma$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Для ромба центром вписанной окружности является точка пересечения его диагоналей — точка $O$. Следовательно, высота пирамиды $H$ равна длине отрезка $SO$, где $S$ — вершина пирамиды.

Для нахождения высоты $H$ рассмотрим линейный угол двугранного угла. Проведем из центра $O$ перпендикуляр $OK$ к стороне ромба $AB$. Длина $OK$ является радиусом $r$ вписанной в ромб окружности. Соединим точки $S$ и $K$. По теореме о трех перпендикулярах, $SK$ (апофема боковой грани $SAB$) также перпендикулярна стороне $AB$.

Следовательно, угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AB$, и его величина равна $\gamma$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$ (с прямым углом $\angle SOK$). Из него находим высоту $H$:

$H = SO = OK \cdot \tan(\gamma) = r \cdot \tan(\gamma)$.

Теперь найдем радиус вписанной окружности $r=OK$. Из прямоугольного треугольника $\triangle AOB$ отрезок $OK$ является высотой, опущенной на гипотенузу $AB$. Найдем длину гипотенузы $AB$ (сторону ромба $a$):

$a = AB = \frac{AO}{\cos(\angle OAB)} = \frac{d/2}{\cos(\alpha/2)} = \frac{d}{2\cos(\alpha/2)}$.

Радиус вписанной в ромб окружности можно найти из формулы площади $S_{осн} = 2ar$:

$r = \frac{S_{осн}}{2a} = \frac{\frac{1}{2}d^2 \tan(\frac{\alpha}{2})}{2 \cdot \frac{d}{2\cos(\alpha/2)}} = \frac{\frac{1}{2}d^2 \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}}{\frac{d}{\cos(\alpha/2)}} = \frac{1}{2}d \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь можем определить высоту пирамиды:

$H = r \cdot \tan(\gamma) = \frac{1}{2}d \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)$.

3. Вычисление объема пирамиды

Подставим найденные выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}d^2 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2}d \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)\right)$.

Выполним умножение:

$V = \frac{1}{12} d^3 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)$.

Это выражение можно оставить в таком виде или немного преобразовать, используя тождество $\tan(x) \sin(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}$:

$V = \frac{d^3 \tan(\gamma)}{12} \cdot \frac{\sin^2(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}$.

Ответ: $V = \frac{1}{12}d^3 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)$.