Номер 261, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

261. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $4$ см, а двугранный угол пирамиды при боковом ребре — $120^\circ$. Найдите объём пирамиды.

261. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а двугранный угол пирамиды при боковом ребре — $120^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Объём правильной четырёхугольной пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания
В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. По условию, сторона основания $a = 4$ см. Площадь основания равна:
$S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16$ см².

2. Найдём высоту пирамиды
Двугранный угол при боковом ребре равен $120^\circ$. Чтобы использовать это значение, построим линейный угол. Пусть дана пирамида SABCD с вершиной S. В гранях SAB и SBC проведём перпендикуляры AK и CK к общему ребру SB. Угол $\angle AKC$ является линейным углом данного двугранного угла, следовательно, $\angle AKC = 120^\circ$.
Поскольку пирамида правильная, её боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Значит, высоты AK и CK, проведённые к боковому ребру SB, равны ($AK = CK$). Таким образом, треугольник AKC является равнобедренным.
Основание этого треугольника, AC, является диагональю квадрата ABCD. Найдём её длину:
$AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Теперь в равнобедренном треугольнике AKC применим теорему косинусов для нахождения длины стороны AK:
$AC^2 = AK^2 + CK^2 - 2 \cdot AK \cdot CK \cdot \cos(120^\circ)$
$(4\sqrt{2})^2 = AK^2 + AK^2 - 2 \cdot AK^2 \cdot (-\frac{1}{2})$
$32 = 2AK^2 + AK^2$
$32 = 3AK^2 \Rightarrow AK^2 = \frac{32}{3}$.
Пусть длина бокового ребра $SB = L$. Площадь боковой грани $\triangle SAB$ можно выразить двумя способами:
1) Через высоту AK: $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} SB \cdot AK = \frac{1}{2} L \sqrt{\frac{32}{3}}$.
2) Через апофему SM (высоту к основанию AB): $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{L^2 - (AB/2)^2} = 2\sqrt{L^2-4}$.
Приравнивая эти два выражения, получаем уравнение:
$\frac{1}{2} L \sqrt{\frac{32}{3}} = 2\sqrt{L^2-4}$
Возведём обе части уравнения в квадрат:
$\frac{L^2}{4} \cdot \frac{32}{3} = 4(L^2-4)$
$\frac{8L^2}{3} = 4L^2 - 16$
$8L^2 = 12L^2 - 48 \Rightarrow 4L^2 = 48 \Rightarrow L^2 = 12$.
Высота пирамиды $H = SO$ (где O — центр основания) находится из прямоугольного треугольника SOC по теореме Пифагора: $H^2 = SC^2 - OC^2$.
$OC = \frac{1}{2} AC = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.
$H^2 = L^2 - OC^2 = 12 - (2\sqrt{2})^2 = 12 - 8 = 4$.
$H = 2$ см.

3. Найдём объём пирамиды
Теперь, зная площадь основания и высоту, вычисляем объём:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2 = \frac{32}{3}$ см³.
Ответ: $\frac{32}{3}$ см³.