Номер 263, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

263. Площадь боковой грани правильной треугольной пи-рамиды равна $S$, а расстояние от центра основания добоковой грани равно $d$. Найдите объём пирамиды.

263. Площадь боковой грани правильной треугольной пирамиды равна $S$, а расстояние от центра основания до боковой грани равно $d$. Найдите объём пирамиды.

Для решения задачи введём следующие обозначения:

• $a$ — сторона основания правильной треугольной пирамиды.
• $H$ — высота пирамиды.
• $h_a$ — апофема (высота боковой грани, проведённая к стороне основания).
• $S_{осн}$ — площадь основания.
• $r$ — радиус окружности, вписанной в основание.
• $S$ — площадь боковой грани (дано).
• $d$ — расстояние от центра основания до боковой грани (дано).
• $V$ — объём пирамиды (искомая величина).

Объём пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{осн} H$

Основанием пирамиды является правильный треугольник. Его площадь можно выразить через сторону $a$ и радиус вписанной окружности $r$. Центр основания $O$ делит его на три равных треугольника. Площадь основания равна утроенной площади одного такого треугольника:$S_{осн} = 3 \cdot (\frac{1}{2} a r) = \frac{3}{2} a r$

Подставим это выражение для площади основания в формулу объёма:$V = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{2} a r \right) H = \frac{1}{2} a r H$

Площадь боковой грани $S$, являющейся равнобедренным треугольником со стороной основания $a$ и высотой $h_a$, равна:$S = \frac{1}{2} a h_a$

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через её высоту $H$ и апофему $h_a$. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник с катетами $H$ и $r$ и гипотенузой $h_a$. Расстояние $d$ от центра основания (вершины прямого угла) до боковой грани (гипотенузы) является высотой этого прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу.Площадь этого треугольника можно выразить двумя способами:$S_{\triangle} = \frac{1}{2} H r$$S_{\triangle} = \frac{1}{2} h_a d$

Приравнивая эти два выражения, получаем важное соотношение:$H r = h_a d$

Теперь вернёмся к полученной ранее формуле для объёма $V = \frac{1}{2} a r H$. Сгруппируем в ней множители следующим образом:$V = \left( \frac{1}{2} a \right) (r H)$

Заменим произведение $r H$ на равное ему $h_a d$ из соотношения, полученного выше:$V = \left( \frac{1}{2} a \right) (h_a d) = \left( \frac{1}{2} a h_a \right) d$

Как мы установили ранее, выражение в скобках $\left( \frac{1}{2} a h_a \right)$ — это площадь боковой грани $S$.Таким образом, окончательно получаем:$V = S d$

Ответ: $V = Sd$.