Страница 32 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

262. В правильной четырёхугольной пирамиде апофема равна $a$, а угол между апофемами двух соседних боковых граней равен $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

262. В правильной четырёхугольной пирамиде апофема равна $a$, а угол между апофемами двух соседних боковых граней равен $\alpha$. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Основание $ABCD$ является квадратом. Апофема пирамиды — это высота боковой грани, проведенная из вершины $S$. Пусть $SM$ — апофема грани $SBC$ (где $M$ — середина ребра $BC$) и $SN$ — апофема грани $SDC$ (где $N$ — середина ребра $CD$).

Согласно условию задачи, длина апофемы $SM = SN = a$, а угол между апофемами соседних граней $\angle MSN = \alpha$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для нахождения объёма необходимо определить сторону основания и высоту пирамиды.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $MSN$, в котором $SM = SN = a$ и $\angle MSN = \alpha$. По теореме косинусов найдем длину стороны $MN$: $MN^2 = SM^2 + SN^2 - 2 \cdot SM \cdot SN \cdot \cos(\alpha) = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$.

Используя тригонометрическую формулу понижения степени $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получим: $MN^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$. Следовательно, $MN = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$. Таким образом, $MN$ является средней линией треугольника $BCD$ и равен половине диагонали $BD$. Пусть сторона квадрата равна $x$. Тогда диагональ $BD = \sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt{2}$, а $MN = \frac{BD}{2} = \frac{x\sqrt{2}}{2}$.

Теперь приравняем два полученных выражения для длины отрезка $MN$, чтобы найти сторону основания $x$: $\frac{x\sqrt{2}}{2} = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$. Отсюда $x = \frac{4a\sin(\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Площадь основания пирамиды (площадь квадрата) равна: $S_{осн} = x^2 = (2\sqrt{2}a\sin(\frac{\alpha}{2}))^2 = 8a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.

Далее найдем высоту пирамиды $H = SO$, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата). Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$, в котором гипотенузой является апофема $SM = a$, а катетами — высота $SO=H$ и отрезок $OM$. Отрезок $OM$ соединяет центр квадрата с серединой стороны, поэтому его длина равна половине стороны квадрата: $OM = \frac{1}{2}AB = \frac{x}{2}$. $OM = \frac{2\sqrt{2}a\sin(\frac{\alpha}{2})}{2} = \sqrt{2}a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

По теореме Пифагора для треугольника $SOM$: $H^2 = SO^2 = SM^2 - OM^2 = a^2 - (\sqrt{2}a\sin(\frac{\alpha}{2}))^2 = a^2 - 2a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = a^2(1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}))$. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем $H^2 = a^2\cos(\alpha)$, откуда $H = a\sqrt{\cos(\alpha)}$.

Наконец, подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(8a^2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot (a\sqrt{\cos(\alpha)}) = \frac{8}{3}a^3\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\cos(\alpha)}$.

Ответ: $V = \frac{8}{3}a^3\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\cos(\alpha)}$.

263. Площадь боковой грани правильной треугольной пи-рамиды равна $S$, а расстояние от центра основания добоковой грани равно $d$. Найдите объём пирамиды.

263. Площадь боковой грани правильной треугольной пирамиды равна $S$, а расстояние от центра основания до боковой грани равно $d$. Найдите объём пирамиды.

Для решения задачи введём следующие обозначения:

• $a$ — сторона основания правильной треугольной пирамиды.
• $H$ — высота пирамиды.
• $h_a$ — апофема (высота боковой грани, проведённая к стороне основания).
• $S_{осн}$ — площадь основания.
• $r$ — радиус окружности, вписанной в основание.
• $S$ — площадь боковой грани (дано).
• $d$ — расстояние от центра основания до боковой грани (дано).
• $V$ — объём пирамиды (искомая величина).

Объём пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{осн} H$

Основанием пирамиды является правильный треугольник. Его площадь можно выразить через сторону $a$ и радиус вписанной окружности $r$. Центр основания $O$ делит его на три равных треугольника. Площадь основания равна утроенной площади одного такого треугольника:$S_{осн} = 3 \cdot (\frac{1}{2} a r) = \frac{3}{2} a r$

Подставим это выражение для площади основания в формулу объёма:$V = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{2} a r \right) H = \frac{1}{2} a r H$

Площадь боковой грани $S$, являющейся равнобедренным треугольником со стороной основания $a$ и высотой $h_a$, равна:$S = \frac{1}{2} a h_a$

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через её высоту $H$ и апофему $h_a$. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник с катетами $H$ и $r$ и гипотенузой $h_a$. Расстояние $d$ от центра основания (вершины прямого угла) до боковой грани (гипотенузы) является высотой этого прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу.Площадь этого треугольника можно выразить двумя способами:$S_{\triangle} = \frac{1}{2} H r$$S_{\triangle} = \frac{1}{2} h_a d$

Приравнивая эти два выражения, получаем важное соотношение:$H r = h_a d$

Теперь вернёмся к полученной ранее формуле для объёма $V = \frac{1}{2} a r H$. Сгруппируем в ней множители следующим образом:$V = \left( \frac{1}{2} a \right) (r H)$

Заменим произведение $r H$ на равное ему $h_a d$ из соотношения, полученного выше:$V = \left( \frac{1}{2} a \right) (h_a d) = \left( \frac{1}{2} a h_a \right) d$

Как мы установили ранее, выражение в скобках $\left( \frac{1}{2} a h_a \right)$ — это площадь боковой грани $S$.Таким образом, окончательно получаем:$V = S d$

Ответ: $V = Sd$.

264. На рисунке 8 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, объём которого равен $V$. Найдите объём пирамиды $B_1ABC$.

Рис. 8

264. На рисунке 8 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, объём которого равен $V$. Найдите объём пирамиды $B_1ABC$.

Рис. 8

Пусть длина ребра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $a$. Объём куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$.

Рассмотрим пирамиду $B_1ABC$. Основанием этой пирамиды является треугольник $ABC$, а её вершиной — точка $B_1$.

Высотой пирамиды является перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. В данном случае ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости нижнего основания $ABCD$, в которой лежит треугольник $ABC$. Следовательно, высота пирамиды $h$ равна длине ребра $B_1B$, то есть $h = a$.

Основание пирамиды — треугольник $ABC$. Так как $ABCD$ — квадрат, то угол $\angle ABC = 90^\circ$. Значит, треугольник $ABC$ — прямоугольный. Его катеты $AB$ и $BC$ являются рёбрами куба, поэтому $AB = a$ и $BC = a$.

Площадь основания пирамиды $S_{ABC}$ равна площади этого прямоугольного треугольника:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} S_{\text{основания}} \cdot h$.

Подставим найденные значения площади основания и высоты, чтобы найти объём пирамиды $B_1ABC$:$V_{B_1ABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2\right) \cdot a = \frac{1}{6}a^3$.

Так как объём всего куба $V = a^3$, мы можем выразить объём пирамиды через $V$:$V_{B_1ABC} = \frac{1}{6}V$.

Ответ: $\frac{V}{6}$.

265. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием $6 \text{ см}$ и боковой стороной $5 \text{ см}$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

265. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием 6 см и боковой стороной 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$).

Основанием является равнобедренный треугольник с боковыми сторонами по 5 см и основанием 6 см. Проведем высоту $h$ к основанию этого треугольника. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и делит основание на два равных отрезка по 3 см.

Из получившегося прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ см².

2. Найдем высоту пирамиды ($H$).

По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол 60°. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника в основании. Расстояние от центра описанной окружности до любой вершины треугольника равно радиусу $R$ этой окружности.

Найдем радиус описанной окружности по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь:

$R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 12} = \frac{150}{48} = \frac{25}{8}$ см.

Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ (который является проекцией бокового ребра на основание) и само боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $H$ является катетом, противолежащим углу 60°, а $R$ — прилежащим катетом. Таким образом:

$H = R \cdot \tan(60°) = \frac{25}{8} \cdot \sqrt{3} = \frac{25\sqrt{3}}{8}$ см.

3. Найдем объем пирамиды ($V$).

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{8} = 4 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{8} = \frac{100\sqrt{3}}{8} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$ см³.

Ответ: $\frac{25\sqrt{3}}{2}$ см³.

266. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $b$ и противолежащим ему углом $\beta$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\varphi$. Найдите объём пирамиды.

266. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $b$ и противолежащим ему углом $\beta$. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\varphi$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$. По условию, один катет равен $b$, а противолежащий ему угол равен $\beta$. Пусть это будет катет $a = b$, тогда противолежащий угол равен $\beta$. Найдём второй катет, который мы обозначим $a'$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b}{a'}$

Отсюда выразим второй катет $a'$:

$a' = \frac{b}{\tan \beta} = b \cot \beta$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot a' = \frac{1}{2} \cdot b \cdot (b \cot \beta) = \frac{b^2 \cot \beta}{2}$

2. Нахождение высоты пирамиды

По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания один и тот же угол $\phi$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится в середине гипотенузы, а радиус $R$ этой окружности равен половине длины гипотенузы $c$.

Найдем гипотенузу $c$ из того же прямоугольного треугольника в основании:

$\sin \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$

Отсюда гипотенуза $c$ равна:

$c = \frac{b}{\sin \beta}$

Теперь найдем радиус описанной окружности:

$R = \frac{c}{2} = \frac{b}{2\sin \beta}$

Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ (который является проекцией бокового ребра на плоскость основания) и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром и его проекцией (радиусом $R$) равен заданному углу $\phi$. В этом треугольнике:

$\tan \phi = \frac{H}{R}$

Выразим высоту пирамиды $H$:

$H = R \tan \phi = \frac{b \tan \phi}{2\sin \beta}$

3. Нахождение объёма пирамиды

Теперь, когда у нас есть выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$, мы можем вычислить объём пирамиды $V$:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{b^2 \cot \beta}{2}\right) \cdot \left(\frac{b \tan \phi}{2\sin \beta}\right)$

$V = \frac{b^3 \cot \beta \tan \phi}{12 \sin \beta}$

Используя тождество $\cot \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$, можно упростить выражение:

$V = \frac{b^3 \left(\frac{\cos \beta}{\sin \beta}\right) \tan \phi}{12 \sin \beta} = \frac{b^3 \cos \beta \tan \phi}{12 \sin^2 \beta}$

Ответ: $V = \frac{b^3 \cos\beta \tan\phi}{12\sin^2\beta}$.

267. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 13 см, 20 см и 21 см, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

267. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 13 см, 20 см и 21 см, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Найдем площадь основания пирамиды.

Основанием является треугольник со сторонами $a = 13$ см, $b = 20$ см и $c = 21$ см. Для нахождения его площади воспользуемся формулой Герона: $S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+20+21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона:

$S_{осн} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3^3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 126$ см².

Найдем высоту пирамиды.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $60^\circ$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проектируется в центр вписанной в основание окружности. Высота пирамиды $H$ и радиус вписанной окружности $r$ связаны через заданный двугранный угол $\alpha = 60^\circ$ соотношением: $H = r \cdot \tan(\alpha)$.

Найдем радиус вписанной окружности, используя формулу, связывающую его с площадью и полупериметром: $S_{осн} = p \cdot r$.

$r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{126}{27} = \frac{14}{3}$ см.

Теперь можем найти высоту пирамиды:

$H = r \cdot \tan(60^\circ) = \frac{14}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$ см.

Вычислим объем пирамиды.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 126 \cdot \frac{14\sqrt{3}}{3} = \frac{126 \cdot 14\sqrt{3}}{9}$.

Так как $126 = 9 \cdot 14$, то:

$V = \frac{9 \cdot 14 \cdot 14\sqrt{3}}{9} = 14^2 \cdot \sqrt{3} = 196\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $196\sqrt{3}$ см³.

268. Основание пирамиды — ромб с острым углом $\alpha$ и большей диагональю $d$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\gamma$. Найдите объём пирамиды.

268. Основание пирамиды — ромб с острым углом $\alpha$ и большей диагональю $d$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\gamma$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для решения задачи нам необходимо найти площадь основания (ромба) и высоту пирамиды.

1. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является ромб с острым углом $\alpha$ и большей диагональю $d$. Пусть ромб будет $ABCD$, где $\angle BAD = \alpha$ — острый угол, а $\angle ABC = 180^\circ - \alpha$ — тупой угол. Большая диагональ соединяет вершины тупых углов, следовательно, $AC = d$. Меньшая диагональ — $BD$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, в точке пересечения $O$ делятся пополам и являются биссектрисами его углов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$. В нем катет $AO$ равен половине большей диагонали, $AO = \frac{d}{2}$. Угол $\angle OAB$ равен половине острого угла ромба, $\angle OAB = \frac{\alpha}{2}$.

Найдем второй катет $OB$ через тангенс угла $\angle OAB$:

$OB = AO \cdot \tan(\angle OAB) = \frac{d}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Меньшая диагональ ромба $BD$ равна удвоенному отрезку $OB$:

$BD = 2 \cdot OB = 2 \cdot \frac{d}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Площадь ромба $S_{осн}$ равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot d \cdot \left(d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}d^2 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

2. Нахождение высоты пирамиды

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $\gamma$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Для ромба центром вписанной окружности является точка пересечения его диагоналей — точка $O$. Следовательно, высота пирамиды $H$ равна длине отрезка $SO$, где $S$ — вершина пирамиды.

Для нахождения высоты $H$ рассмотрим линейный угол двугранного угла. Проведем из центра $O$ перпендикуляр $OK$ к стороне ромба $AB$. Длина $OK$ является радиусом $r$ вписанной в ромб окружности. Соединим точки $S$ и $K$. По теореме о трех перпендикулярах, $SK$ (апофема боковой грани $SAB$) также перпендикулярна стороне $AB$.

Следовательно, угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AB$, и его величина равна $\gamma$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$ (с прямым углом $\angle SOK$). Из него находим высоту $H$:

$H = SO = OK \cdot \tan(\gamma) = r \cdot \tan(\gamma)$.

Теперь найдем радиус вписанной окружности $r=OK$. Из прямоугольного треугольника $\triangle AOB$ отрезок $OK$ является высотой, опущенной на гипотенузу $AB$. Найдем длину гипотенузы $AB$ (сторону ромба $a$):

$a = AB = \frac{AO}{\cos(\angle OAB)} = \frac{d/2}{\cos(\alpha/2)} = \frac{d}{2\cos(\alpha/2)}$.

Радиус вписанной в ромб окружности можно найти из формулы площади $S_{осн} = 2ar$:

$r = \frac{S_{осн}}{2a} = \frac{\frac{1}{2}d^2 \tan(\frac{\alpha}{2})}{2 \cdot \frac{d}{2\cos(\alpha/2)}} = \frac{\frac{1}{2}d^2 \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}}{\frac{d}{\cos(\alpha/2)}} = \frac{1}{2}d \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь можем определить высоту пирамиды:

$H = r \cdot \tan(\gamma) = \frac{1}{2}d \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)$.

3. Вычисление объема пирамиды

Подставим найденные выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}d^2 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2}d \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)\right)$.

Выполним умножение:

$V = \frac{1}{12} d^3 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)$.

Это выражение можно оставить в таком виде или немного преобразовать, используя тождество $\tan(x) \sin(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}$:

$V = \frac{d^3 \tan(\gamma)}{12} \cdot \frac{\sin^2(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}$.

Ответ: $V = \frac{1}{12}d^3 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)$.

269. Основанием пирамиды является прямоугольная трапеция. Точка касания окружности, вписанной в эту трапецию, и её большей боковой стороны делит эту сторону на отрезки длиной 4 см и 25 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите объём пирамиды.

269. Основанием пирамиды является прямоугольная трапеция. Точка касания окружности, вписанной в эту трапецию, и её большей боковой стороны делит эту сторону на отрезки длиной 4 см и 25 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $30^\circ$. Найдите объём пирамиды.

1. Нахождение параметров основания (трапеции).

Пусть основанием пирамиды является прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AB$ – меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям $AD$ и $BC$ ($\angle A = \angle B = 90^\circ$), а $CD$ – большая боковая сторона. В трапецию вписана окружность.

По условию, точка касания вписанной окружности делит большую боковую сторону $CD$ на отрезки длиной 4 см и 25 см. Пусть $K$ – точка касания на стороне $CD$. Тогда, по свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки от вершин до точек касания равны. Пусть точки касания на сторонах $BC$ и $AD$ – это $M$ и $N$ соответственно. Тогда $CK = CM = 4$ см, а $DK = DN = 25$ см.

Длина большей боковой стороны $CD$ равна:$CD = CK + KD = 4 + 25 = 29$ см.

Так как в трапецию можно вписать окружность, суммы ее противолежащих сторон равны:$AB + CD = AD + BC$.

Высота прямоугольной трапеции $AB$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $AB = 2r$, где $r$ – радиус вписанной окружности.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Получим прямоугольный треугольник $CHD$. В этом треугольнике:

• Гипотенуза $CD = 29$ см.
• Катет $CH$ равен высоте трапеции $AB$, то есть $CH = 2r$.
• Катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC$.

Используя свойство касательных, выразим основания через радиус $r$. Так как $AB$ перпендикулярна $BC$ и $AD$, то отрезки от вершин $B$ и $A$ до точек касания на этих сторонах равны радиусу $r$.Следовательно, $BC = CM + MB = 4 + r$, а $AD = DN + NA = 25 + r$.Тогда $HD = AD - BC = (25 + r) - (4 + r) = 21$ см.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $CHD$:$CH^2 + HD^2 = CD^2$$(2r)^2 + 21^2 = 29^2$$4r^2 + 441 = 841$$4r^2 = 841 - 441$$4r^2 = 400$$r^2 = 100$$r = 10$ см.

Теперь найдем высоту и основания трапеции:Высота $h = AB = 2r = 2 \cdot 10 = 20$ см.Меньшее основание $BC = 4 + r = 4 + 10 = 14$ см.Большее основание $AD = 25 + r = 25 + 10 = 35$ см.

Площадь основания пирамиды (площадь трапеции) равна:$S_{осн} = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB = \frac{35 + 14}{2} \cdot 20 = \frac{49}{2} \cdot 20 = 49 \cdot 10 = 490$ см².

2. Нахождение высоты пирамиды.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания равны $30^\circ$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности.Пусть $S$ – вершина пирамиды, а $O$ – центр вписанной окружности. Тогда $SO$ – высота пирамиды $H$.

Расстояние от центра вписанной окружности $O$ до любой стороны основания равно радиусу $r = 10$ см.Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды $SO$, апофемой боковой грани (например, $SK$, где $K$ – точка касания на стороне $CD$) и радиусом $OK$, проведенным к точке касания. Этот треугольник $SOK$ – прямоугольный ($\angle SOK = 90^\circ$).

Угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $CD$, и по условию он равен $30^\circ$.В прямоугольном треугольнике $SOK$:$OK = r = 10$ см (катет).$\angle SKO = 30^\circ$.Высота пирамиды $H = SO$ (противолежащий катет).

Найдем высоту $H$ через тангенс угла:$\tan(\angle SKO) = \frac{SO}{OK}$$H = SO = OK \cdot \tan(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

3. Нахождение объема пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

Подставим найденные значения площади основания и высоты:$V = \frac{1}{3} \cdot 490 \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{4900\sqrt{3}}{9}$ см³.

Ответ: $\frac{4900\sqrt{3}}{9}$ см³.

270. Основанием пирамиды является равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 4 см. Боковые грани пирамиды, содержащие катеты этого треугольника, перпендикулярны плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

270. Основанием пирамиды является равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 4 см. Боковые грани пирамиды, содержащие катеты этого треугольника, перпендикулярны плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Основанием пирамиды является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными 4 см. Найдем его площадь:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 \text{ см}^2$.

По условию, боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны плоскости основания. Пусть основание — это треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$, а вершина пирамиды — $S$. Тогда грани $(SAC)$ и $(SBC)$ перпендикулярны плоскости $(ABC)$. Так как эти две плоскости пересекаются по ребру $SC$, то их линия пересечения $SC$ также перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, ребро $SC$ является высотой пирамиды, $H = SC$.

Третья грань $(SAB)$ наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Угол между плоскостями — это двугранный угол, который измеряется линейным углом. Построим его. Проведем в треугольнике основания $ABC$ высоту $CM$ к гипотенузе $AB$. Так как $SC$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, то $SM$ — наклонная, а $CM$ — ее проекция. По теореме о трех перпендикулярах, так как $CM \perp AB$, то и $SM \perp AB$.
Таким образом, угол $\angle SMC$ является линейным углом двугранного угла между гранью $(SAB)$ и плоскостью основания. По условию, $\angle SMC = 60^\circ$.

Найдем длину высоты $H = SC$. Для этого сначала найдем длину отрезка $CM$. В основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$. Его гипотенуза $AB$ по теореме Пифагора равна:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.
Высота $CM$, проведенная к гипотенузе в равнобедренном прямоугольном треугольнике, также является медианой и равна половине гипотенузы:
$CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SCM$ (угол $\angle SCM = 90^\circ$). Из него найдем высоту пирамиды $H = SC$:
$\tan(\angle SMC) = \frac{SC}{CM} \Rightarrow H = SC = CM \cdot \tan(60^\circ)$
$H = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{6}$ см.

Теперь можем вычислить объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{6} = \frac{16\sqrt{6}}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $\frac{16\sqrt{6}}{3} \text{ см}^3$.