Страница 28 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

224. Найдите радиус шара, вписанного в цилиндр, если его высота равна 18 см.

224. Найдите радиус шара, вписанного в цилиндр, если его высота равна 18 см.

Пусть $R$ — искомый радиус вписанного шара, а $h$ — высота цилиндра.

Если шар вписан в цилиндр, это означает, что он касается обоих оснований цилиндра (верхнего и нижнего) и его боковой поверхности по окружности.

Поскольку шар касается верхнего и нижнего оснований, расстояние между этими основаниями, которое равно высоте цилиндра $h$, должно быть равно диаметру шара $D$.

Таким образом, мы имеем соотношение: $h = D$

Диаметр шара $D$ связан с его радиусом $R$ следующей формулой: $D = 2R$

Из этих двух равенств следует, что высота цилиндра равна удвоенному радиусу вписанного в него шара: $h = 2R$

По условию задачи дано, что высота цилиндра $h = 18$ см. Подставим это значение в полученную формулу: $18 = 2R$

Теперь найдем радиус шара $R$: $R = \frac{18}{2} = 9$ см

Ответ: 9 см.

225. Радиус основания конуса равен 15 см, а высота – 36 см. Найдите радиус шара, вписанного в конус.

225. Радиус основания конуса равен 15 см, а высота – 36 см. Найдите радиус шара, вписанного в конус.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением является равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса), в который вписан круг (сечение шара). Высота треугольника равна высоте конуса $H = 36$ см, а половина основания — радиусу основания конуса $R = 15$ см. Радиус вписанного круга $r$ является искомым радиусом шара.

Сначала найдем длину образующей конуса $L$, которая является боковой стороной равнобедренного треугольника в сечении. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей:

$L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{36^2 + 15^2} = \sqrt{1296 + 225} = \sqrt{1521} = 39$ см.

Теперь рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника в осевом сечении. Первый — большой треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей $L$. Второй — малый треугольник, образованный радиусом вписанного шара $r$ (который перпендикулярен образующей в точке касания), частью образующей и частью высоты конуса от вершины до центра шара, равной $H-r$. Центр вписанного шара лежит на высоте конуса.

Из подобия этих треугольников (по общему острому углу при вершине конуса) следует соотношение их сторон:

$\frac{\text{катет, противолежащий общему углу}}{\text{гипотенуза}} = \frac{r}{H-r} = \frac{R}{L}$

Подставим известные значения в эту пропорцию:

$\frac{r}{15} = \frac{36-r}{39}$

Решим полученное уравнение относительно $r$:

$39 \cdot r = 15 \cdot (36-r)$

$39r = 540 - 15r$

$39r + 15r = 540$

$54r = 540$

$r = \frac{540}{54} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

226. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, вписанного в конус.

226. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, вписанного в конус.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса $a$, а угол при основании равен углу наклона образующей к плоскости основания, то есть $\alpha$. Осевое сечение вписанного шара — это большой круг этого шара, который является окружностью, вписанной в данный равнобедренный треугольник.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, $H$ — его высота, а $r$ — радиус вписанного шара.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $a$, гипотенузой является образующая $a$. Угол между образующей $a$ и радиусом $R$ равен $\alpha$.

Из этого прямоугольного треугольника находим радиус основания конуса $R$:
$R = a \cdot \cos(\alpha)$

Теперь найдем радиус $r$ вписанной в осевое сечение окружности. Центр этой окружности лежит на высоте конуса (которая является и биссектрисой угла при вершине равнобедренного треугольника) и на пересечении биссектрис углов треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания конуса $R$ и радиус вписанной окружности $r$. Угол, противолежащий катету $r$, равен половине угла при основании, то есть $\frac{\alpha}{2}$, так как центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла.

Из этого треугольника имеем соотношение: $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{R}$

Отсюда выражаем радиус вписанного шара $r$: $r = R \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Подставим выражение для $R$, найденное ранее: $r = a \cos(\alpha) \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Площадь большого круга шара $S$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Подставим в нее найденное выражение для $r$: $S = \pi \left(a \cos(\alpha) \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 = \pi a^2 \cos^2(\alpha) \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Можно также использовать формулу тангенса половинного угла $\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}$, чтобы представить ответ в другом виде: $S = \pi a^2 \cos^2(\alpha) \frac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}$

Оба вида ответа являются верными.

Ответ: $\pi a^2 \cos^2(\alpha) \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

227. Радиус шара, вписанного в конус, равен 12 см, а расстояние от центра шара до вершины конуса – 20 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

227. Радиус шара, вписанного в конус, равен 12 см, а расстояние от центра шара до вершины конуса — 20 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ – радиус основания конуса, а $L$ – длина его образующей.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение шара – окружность, вписанную в этот треугольник. Обозначим:

• $S$ – вершина конуса.
• $H$ – центр основания конуса.
• $O$ – центр вписанного шара. Точки $S$, $O$, $H$ лежат на оси конуса.
• $SA$ – образующая конуса ($L$), где $A$ – точка на окружности основания.
• $HA$ – радиус основания конуса ($R$).
• $SH$ – высота конуса ($H$).

По условию задачи, радиус вписанного шара $r = 12$ см, а расстояние от центра шара до вершины конуса $SO = 20$ см.

Проведем радиус шара $OK$ к точке касания с образующей $SA$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OK \perp SA$. Длина этого радиуса $OK = r = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$. В нем известны гипотенуза $SO = 20$ см и катет $OK = 12$ см. По теореме Пифагора найдем длину второго катета $SK$:

$SK = \sqrt{SO^2 - OK^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SHA$, который является половиной осевого сечения конуса. Треугольники $\triangle SOK$ и $\triangle SHA$ подобны по двум углам (оба прямоугольные и имеют общий острый угол при вершине $S$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{OK}{HA} = \frac{SO}{SA} = \frac{SK}{SH}$

Подставим известные значения и обозначения переменных:

$\frac{12}{R} = \frac{20}{L} = \frac{16}{H}$

Высота конуса $H$ складывается из двух отрезков на оси: расстояния от вершины до центра шара ($SO$) и радиуса шара ($OH$, так как шар касается основания в точке $H$).

$H = SH = SO + OH = 20 + 12 = 32$ см.

Теперь, зная высоту $H$, мы можем найти радиус основания $R$ и образующую $L$ из пропорции:

Из соотношения $\frac{16}{H} = \frac{20}{L}$ найдем $L$:

$\frac{16}{32} = \frac{20}{L} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{20}{L} \Rightarrow L = 2 \cdot 20 = 40$ см.

Из соотношения $\frac{12}{R} = \frac{16}{H}$ найдем $R$:

$\frac{12}{R} = \frac{16}{32} \Rightarrow \frac{12}{R} = \frac{1}{2} \Rightarrow R = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot 24 \cdot 40 = 960\pi$ см$^2$.

Ответ: $960\pi$ см$^2$.

228. Угол при вершине осевого сечения конуса равен $\alpha$, а радиус вписанного в конус шара равен $r$. Найдите площадь осевого сечения конуса.

228. Угол при вершине осевого сечения конуса равен $\alpha$, а радиус вписанного в конус шара равен $r$. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Вписанный в конус шар в этом сечении будет выглядеть как вписанная в треугольник окружность.

Пусть осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной $A$. Угол при вершине $\angle BAC = \alpha$. $AH$ — высота, медиана и биссектриса, проведенная к основанию $BC$. Тогда $H$ — центр основания конуса, $AH$ — высота конуса (обозначим её $H_{cone}$), а $HC$ — радиус основания конуса (обозначим его $R$). Площадь осевого сечения $S$ равна площади треугольника $ABC$.

$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H_{cone} = R \cdot H_{cone}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Так как $AH$ — биссектриса, то $\angle HAC = \frac{\alpha}{2}$. Из этого треугольника имеем:$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{HC}{AH} = \frac{R}{H_{cone}}$Отсюда, $H_{cone} = \frac{R}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = R \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь найдем связь между $R$ и радиусом вписанного шара $r$. Центр вписанной окружности $O$ лежит на высоте $AH$. Радиус этой окружности, проведенный в точку касания с основанием $BC$, есть отрезок $OH$, и его длина равна $r$.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Проведем биссектрису $CO$ угла $ACH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Угол $\angle ACH = 90^\circ - \angle HAC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку $CO$ — биссектриса угла $ACH$, то $\angle OCH = \frac{1}{2}\angle ACH = \frac{1}{2}(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OHC$. Катеты этого треугольника — $OH = r$ и $HC = R$. Мы можем записать:$\tan(\angle OCH) = \frac{OH}{HC} = \frac{r}{R}$

Выразим $R$ из этого соотношения:$R = \frac{r}{\tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})} = r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$

Теперь, зная $R$, мы можем найти высоту конуса $H_{cone}$:$H_{cone} = R \cot(\frac{\alpha}{2}) = r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) \cot(\frac{\alpha}{2})$

Наконец, вычислим площадь осевого сечения $S$:$S = R \cdot H_{cone} = \left( r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) \right) \cdot \left( r \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) \cot(\frac{\alpha}{2}) \right)$

$S = r^2 \cot^2(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) \cot(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $S = r^2 \cot(\frac{\alpha}{2}) \cot^2(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$.

229. В конус, образующая которого равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

229. В конус, образующая которого равна 2 см и наклонена на плоскости основания под углом $30^{\circ}$, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

Линия, по которой вписанная сфера касается боковой поверхности конуса, является окружностью. Для нахождения ее длины необходимо определить ее радиус. Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью (которая является сечением сферы).

Пусть $l$ — образующая конуса, $R$ — радиус основания, $H$ — высота конуса, и $\alpha$ — угол наклона образующей к плоскости основания.

По условию задачи:
$l = 2$ см
$\alpha = 30°$

1. Найдем радиус основания $R$ и высоту конуса $H$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $l$. В этом треугольнике $l$ является гипотенузой.
Радиус основания $R$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$:
$R = l \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \cos(30°) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.
Высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$:
$H = l \cdot \sin(\alpha) = 2 \cdot \sin(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см.

2. Найдем радиус окружности касания.
Пусть $r_k$ — радиус окружности, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.
В осевом сечении, которое представляет собой равнобедренный треугольник $SAB$ (где $S$ — вершина конуса, $AB$ — диаметр основания), вписанная окружность касается стороны $SA$ в точке $K$ и основания $AB$ в его центре $O$.
По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны. Для точки $A$ это отрезки $AK$ и $AO$. Следовательно, $AK = AO$. Так как $AO$ — это радиус основания конуса $R$, то $AK = R = \sqrt{3}$ см.
Образующая $l$ (отрезок $SA$) состоит из двух частей: $SA = SK + AK$.
Отсюда можем найти длину отрезка $SK$:
$SK = SA - AK = l - R = 2 - \sqrt{3}$ см.
Радиус окружности касания $r_k$ — это расстояние от точки $K$ до оси конуса $SO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $SK$ (как гипотенузой) и радиусом $r_k$ (как катетом). Угол при вершине конуса $S$ в этом треугольнике ($\angle KSO$) найдем из прямоугольного треугольника $SOA$:
$\angle ASO = 90° - \alpha = 90° - 30° = 60°$.
Теперь можем найти $r_k$:
$r_k = SK \cdot \sin(\angle ASO) = (2 - \sqrt{3}) \cdot \sin(60°) = (2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{2}$ см.

3. Найдем длину линии касания.
Длина линии касания $L$ — это длина окружности с радиусом $r_k$:
$L = 2 \pi r_k = 2 \pi \cdot \left(\frac{2\sqrt{3} - 3}{2}\right) = \pi(2\sqrt{3} - 3)$ см.

Ответ: $ \pi(2\sqrt{3} - 3) $ см.

230. В усечённом конусе угол между образующей и плоскостью большего основания равен $60^\circ$, а разность радиусов оснований равна 6 см. В конус вписан шар. Найдите радиус шара и радиусы оснований усечённого конуса.

230. В усечённом конусе угол между образующей и плоскостью большего основания равен $60^\circ$, а разность радиусов оснований равна 6 см. В конус вписан шар. Найдите радиус шара и радиусы оснований усечённого конуса.

Обозначим радиус большего основания усеченного конуса как $R$, радиус меньшего основания как $r$, образующую как $l$ и высоту как $h$. Радиус вписанного шара обозначим как $r_{ш}$.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это равнобокая трапеция, в которую вписана окружность, являющаяся сечением шара. Основания трапеции равны $2R$ и $2r$, боковые стороны равны образующей $l$, а высота трапеции равна высоте конуса $h$.

Если провести высоту из вершины меньшего основания трапеции на большее, образуется прямоугольный треугольник. Его гипотенузой будет образующая $l$, одним катетом — высота $h$, а другим катетом — разность радиусов $R-r$. Угол между образующей и плоскостью большего основания — это угол при большем основании трапеции, который по условию равен $60^\circ$.

Из условия задачи известно, что разность радиусов оснований равна 6 см, то есть $R - r = 6$ см.

Радиус шара
В прямоугольном треугольнике, описанном выше, найдем высоту конуса $h$, которая является катетом, противолежащим углу $60^\circ$:
$h = (R-r) \cdot \tan(60^\circ) = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.
Поскольку в конус вписан шар, его диаметр равен высоте конуса: $h = 2r_{ш}$.
Отсюда находим радиус вписанного шара:
$r_{ш} = \frac{h}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
Ответ: $3\sqrt{3}$ см.

Радиусы оснований усечённого конуса
Для того чтобы в усеченный конус можно было вписать шар, необходимо и достаточно, чтобы его образующая была равна сумме радиусов оснований: $l = R + r$.
Найдем длину образующей $l$ из того же прямоугольного треугольника, где она является гипотенузой:
$l = \frac{R-r}{\cos(60^\circ)} = \frac{6}{1/2} = 12$ см.
Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения $R$ и $r$:
$ \begin{cases} R - r = 6 \\ R + r = 12 \end{cases} $
Сложив эти два уравнения, получим:
$2R = 18 \implies R = 9$ см.
Подставив найденное значение $R$ во второе уравнение, найдем $r$:
$9 + r = 12 \implies r = 3$ см.
Ответ: 9 см и 3 см.

231. Центр шара, вписанного в усечённый конус, удалён от точек окружности одного основания на 12 см, а другого — на 16 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

231. Центр шара, вписанного в усечённый конус, удалён от точек окружности одного основания на 12 см, а другого — на 16 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Пусть усечённый конус имеет радиусы оснований $r_1$ и $r_2$, образующую $l$ и высоту $H$. Пусть в конус вписан шар радиуса $R$ с центром в точке $O$.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность радиуса $R$. Центр этой окружности $O$ совпадает с центром вписанного шара. Высота трапеции равна высоте конуса $H$, и так как шар касается обоих оснований конуса, его диаметр равен высоте конуса, то есть $H = 2R$. Центр шара $O$ находится на оси конуса на равном расстоянии $R$ от плоскостей обоих оснований.

По условию, центр шара $O$ удалён от точек окружности одного основания на 12 см, а другого — на 16 см. Пусть $d_1 = 12$ см и $d_2 = 16$ см. Эти расстояния являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках, где катетами являются радиус соответствующего основания ($r_1$ или $r_2$) и расстояние от центра шара до плоскости этого основания (которое равно $R$).

Таким образом, мы можем составить два уравнения на основе теоремы Пифагора:

$R^2 + r_1^2 = d_1^2 = 12^2 = 144$

$R^2 + r_2^2 = d_2^2 = 16^2 = 256$

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l$

Для усечённого конуса, в который можно вписать шар, существует важное свойство: сумма длин оснований осевого сечения (трапеции) равна сумме длин боковых сторон. В нашем случае это означает $2r_1 + 2r_2 = 2l$, откуда следует, что $l = r_1 + r_2$.

Подставив это свойство в формулу площади боковой поверхности, получим:

$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) (r_1 + r_2) = \pi (r_1 + r_2)^2$

Теперь нам нужно найти значение $(r_1 + r_2)^2$. Для этого воспользуемся еще одним свойством осевого сечения. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой трапеции $H=2R$, частью большего основания $(r_2 - r_1)$ и боковой стороной $l$, по теореме Пифагора имеем:

$l^2 = H^2 + (r_2 - r_1)^2$

Заменим $l$ на $(r_1 + r_2)$ и $H$ на $2R$:

$(r_1 + r_2)^2 = (2R)^2 + (r_2 - r_1)^2$

$r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 = 4R^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 + r_1^2$

$4r_1r_2 = 4R^2$

$r_1r_2 = R^2$

Теперь раскроем скобки в выражении для площади:

$S_{бок} = \pi (r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2)$

Из первых двух уравнений, полученных из условия, выразим $r_1^2$ и $r_2^2$:

$r_1^2 = 144 - R^2$

$r_2^2 = 256 - R^2$

Подставим эти выражения и соотношение $r_1r_2 = R^2$ в формулу для площади:

$S_{бок} = \pi ( (144 - R^2) + 2(R^2) + (256 - R^2) )$

$S_{бок} = \pi (144 - R^2 + 2R^2 + 256 - R^2)$

$S_{бок} = \pi (144 + 256 - R^2 - R^2 + 2R^2)$

$S_{бок} = \pi (400) = 400\pi$

Таким образом, площадь боковой поверхности усечённого конуса равна $400\pi$ см².

Ответ: $400\pi \text{ см}^2$.

232. В усечённый конус вписан шар радиуса $R$. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса, если диаметр его меньшего основания виден из центра шара под углом $\alpha$.

232. В усечённый конус вписан шар радиуса $R$. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса, если диаметр его меньшего основания виден из центра шара под углом $\alpha$.

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию, в которую вписана окружность. Эта окружность является большим кругом вписанного шара, поэтому ее радиус равен $R$. Высота трапеции, в свою очередь, равна диаметру вписанной окружности, то есть высота усеченного конуса $h = 2R$.

Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы большего и меньшего оснований усеченного конуса соответственно. Тогда основания трапеции осевого сечения равны $2r_1$ и $2r_2$. Площадь осевого сечения $S$ вычисляется по формуле площади трапеции:

$S = \frac{2r_1 + 2r_2}{2} \cdot h = (r_1 + r_2) \cdot 2R$

По условию, диаметр меньшего основания виден из центра шара $O$ под углом $\alpha$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, вершинами которого являются центр шара $O$ и концы диаметра меньшего основания. Высота этого треугольника, опущенная из вершины $O$, равна расстоянию от центра шара до плоскости меньшего основания, то есть радиусу шара $R$. Эта высота также является биссектрисой угла $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный этой высотой ($R$), половиной диаметра меньшего основания (радиусом $r_2$) и отрезком, соединяющим центр шара с концом диаметра. В этом треугольнике катет $r_2$ противолежит углу $\frac{\alpha}{2}$, а другой катет равен $R$. Следовательно:

$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r_2}{R}$

Отсюда выразим радиус меньшего основания:

$r_2 = R \tan(\frac{\alpha}{2})$

Для усеченного конуса, в который вписан шар, справедливо свойство: произведение радиусов его оснований равно квадрату радиуса вписанного шара. Это свойство следует из того, что в осевое сечение (равнобедренную трапецию) можно вписать окружность. Сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон. Если $l$ - образующая конуса (боковая сторона трапеции), то $2r_1 + 2r_2 = 2l$, или $l = r_1 + r_2$. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $l$, катетами $h=2R$ и $(r_1 - r_2)$ по теореме Пифагора имеем $l^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2$. Подставив выражения для $l$ и $h$, получим $(r_1+r_2)^2 = (2R)^2 + (r_1-r_2)^2$, что после упрощения дает $4r_1r_2 = 4R^2$. Таким образом:

$r_1 \cdot r_2 = R^2$

Теперь найдем радиус большего основания $r_1$:

$r_1 = \frac{R^2}{r_2} = \frac{R^2}{R \tan(\frac{\alpha}{2})} = R \frac{1}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = R \cot(\frac{\alpha}{2})$

Подставим найденные выражения для $r_1$ и $r_2$ в формулу для площади осевого сечения:

$S = (r_1 + r_2) \cdot 2R = (R \cot(\frac{\alpha}{2}) + R \tan(\frac{\alpha}{2})) \cdot 2R = 2R^2 (\cot(\frac{\alpha}{2}) + \tan(\frac{\alpha}{2}))$

Упростим тригонометрическое выражение в скобках, приведя к общему знаменателю:

$\cot(\frac{\alpha}{2}) + \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} + \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\cos^2(\frac{\alpha}{2}) + \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$, получаем:

$\frac{1}{\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{\alpha}{2})} = \frac{2}{\sin(\alpha)}$

Теперь найдем окончательное выражение для площади:

$S = 2R^2 \cdot \frac{2}{\sin(\alpha)} = \frac{4R^2}{\sin(\alpha)}$

Ответ: $\frac{4R^2}{\sin(\alpha)}$

233. Каждое ребро прямого параллелепипеда равно 6 см, а острый угол основания — $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

233. Каждое ребро прямого параллелепипеда равно 6 см, а острый угол основания — $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объём прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{base} \cdot H$, где $S_{base}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

Из условия задачи известно, что параллелепипед прямой. Это означает, что его боковые рёбра перпендикулярны основанию, и, следовательно, длина бокового ребра равна высоте параллелепипеда.

Так как каждое ребро параллелепипеда равно 6 см, то высота $H = 6$ см.

Основанием параллелепипеда является параллелограмм. Поскольку все рёбра равны 6 см, стороны основания также равны 6 см. Такой параллелограмм является ромбом со стороной $a = 6$ см.

Площадь основания (ромба) можно вычислить по формуле $S_{base} = a^2 \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между сторонами.

По условию, острый угол основания $\alpha = 30^\circ$. Подставим известные значения в формулу площади:

$S_{base} = 6^2 \cdot \sin(30^\circ) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18 \text{ см}^2$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, найдём объём параллелепипеда:

$V = S_{base} \cdot H = 18 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 108 \text{ см}^3$.

Ответ: $108 \text{ см}^3$.