Номер 225, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

225. Радиус основания конуса равен 15 см, а высота – 36 см. Найдите радиус шара, вписанного в конус.

225. Радиус основания конуса равен 15 см, а высота – 36 см. Найдите радиус шара, вписанного в конус.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением является равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса), в который вписан круг (сечение шара). Высота треугольника равна высоте конуса $H = 36$ см, а половина основания — радиусу основания конуса $R = 15$ см. Радиус вписанного круга $r$ является искомым радиусом шара.

Сначала найдем длину образующей конуса $L$, которая является боковой стороной равнобедренного треугольника в сечении. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей:

$L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{36^2 + 15^2} = \sqrt{1296 + 225} = \sqrt{1521} = 39$ см.

Теперь рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника в осевом сечении. Первый — большой треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей $L$. Второй — малый треугольник, образованный радиусом вписанного шара $r$ (который перпендикулярен образующей в точке касания), частью образующей и частью высоты конуса от вершины до центра шара, равной $H-r$. Центр вписанного шара лежит на высоте конуса.

Из подобия этих треугольников (по общему острому углу при вершине конуса) следует соотношение их сторон:

$\frac{\text{катет, противолежащий общему углу}}{\text{гипотенуза}} = \frac{r}{H-r} = \frac{R}{L}$

Подставим известные значения в эту пропорцию:

$\frac{r}{15} = \frac{36-r}{39}$

Решим полученное уравнение относительно $r$:

$39 \cdot r = 15 \cdot (36-r)$

$39r = 540 - 15r$

$39r + 15r = 540$

$54r = 540$

$r = \frac{540}{54} = 10$ см.

Ответ: 10 см.