Номер 219, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

219. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, описанного около конуса.

219. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, описанного около конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и описанного около него шара. Сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением шара — большой круг, который является описанной около этого треугольника окружностью. Радиус этого большого круга и есть радиус описанного шара.

Пусть осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник $ABC$, где $A$ — вершина конуса, а $BC$ — диаметр его основания. Тогда боковые стороны $AB$ и $AC$ равны образующей конуса, то есть $AB = AC = a$. Угол наклона образующей к плоскости основания — это угол между образующей и радиусом основания в осевом сечении. Следовательно, углы при основании треугольника $ABC$ равны $\alpha$, то есть $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$.

Радиус $R$ описанного шара совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника $ABC$. Для нахождения этого радиуса воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника $ABC$: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.

Возьмем сторону $AC=a$. Противолежащий ей угол — это $\angle ABC = \alpha$. Тогда:
$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2R$
Подставим известные значения:
$\frac{a}{\sin(\alpha)} = 2R$
Отсюда выражаем радиус описанного шара $R$:
$R = \frac{a}{2 \sin(\alpha)}$

Площадь большого круга шара вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Подставим найденное выражение для радиуса $R$:
$S = \pi \left( \frac{a}{2 \sin(\alpha)} \right)^2 = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi a^2}{4 \sin^2(\alpha)}$